Ισόπλευρο

#1

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με ύψος

και διάμεσο

ισχύουν

και $\angle MBC=\angle FCA.$
Δείξτε ότι είναι ισόπλευρο.

hlkampel · #2

socrates έγραψε:Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ύψος και διάμεσο ισχύουν και $\angle MBC=\angle FCA.$
Δείξτε ότι είναι ισόπλευρο.

Η

είναι διάμεσος στην υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου AFC

, έτσι $FM = AM = MC = \frac{{AC}}{2}$ (1)

Από (1) το τρίγωνο MBC

είναι ισοσκελές, έτσι $\widehat {MFC} = \widehat {ACF} = \widehat {MBC} = x$ (2)

Το τετράπλευρο BCMF

είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά

φαίνεται υπό ίση γωνία από τις κορυφές

και

.

Έτσι και $\widehat {FCA} = \widehat {FBM} = x$ .

Έτσι $\widehat {MBC} = \widehat {FBM} = x$ δηλαδή η

είναι διάμεσος και διχοτόμος. Άρα το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές, με AB = BC

(3) και η

είναι και ύψος.

Από την ισότητα των τριγώνων BMC

και

(ορθογώνια, κοινή υποτείνουσα και BM = CF

) προκύπτει ότι $\widehat B = \widehat C$ , δηλαδή το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές, με AB = AC

(4)

Άρα , από (3),(4) AB = AC = BC

, και το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

#3

Αν

είναι ύψος, τότε $\angle DBA=\angle FCA=\angle CBM$ , επομένως η διάμεσος

είναι ισογώνια του ύψους

, που σημαίνει ότι το περίκεντρο του ABC

βρίσκεται πάνω στη διάμεσο. Επομένως το τρίγωνο μας είναι ισοσκελές η ορθογώνιο στο

και καθώς μιλάμε για οξυγώνιο τρίγωνο, συμπαιρένουμε ότι AB=BC

.Τώρα, καθώς η

είναι και ύψος, από την ισότητα των υψών BM=CF

προύπτει ότι AB=AC

.