Περιττοί διωνυμικοί συντελεστές
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Περιττοί διωνυμικοί συντελεστές
Έστω θετικός ακέραιος . Να δειχθεί ότι ο αριθμός των ώστε ο διωνυμικός συντελεστής να είναι περιττός, είναι δύναμη του 2.
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Περιττοί διωνυμικοί συντελεστές
Θα αποδείξουμε το εξής γενικότερο αποτέλεσμα:
Έστω πρώτος αριθμός και θετικός ακέραιος. Συμβολίζουμε με το πλήθος των ακεραίων αριθμών με για τους οποίους ο διωνυμικός συντελεστής δεν είναι πολλαπλάσιο του
Έστω ακόμη ότι το ανάπτυγμα του με βάση το είναι
όπου για
Τότε ισχύει ότι
Για βρίσκουμε άμεσα ότι το πλήθος των περιττών διωνυμικών συντελεστών της μορφής όπου είναι ίσο με
όπου το πλήθος των μη μηδενικών ψηφίων του αναπτύγματος του με βάση το και το ζητούμενο του προβλήματος έπεται.
Για την απόδειξη του γενικότερου ισχυρισμού, θα χρησιμοποιήσουμε ένα γνωστό αποτέλεσμα του Lucas:
Αν και όπου για τότε ισχύει
Παρατηρούμε τώρα ότι ο δε διαιρεί το διωνυμικό συντελεστή αν και μόνο αν ο δε διαιρεί κανέναν από τους διωνυμικούς συντελεστές με Εφόσον, όμως, αυτό θα συμβαίνει αν και μόνο αν ο παίρνει μια από τις τιμές για κάθε Ο ισχυρισμός έπεται τώρα άμεσα από την πολλαπλασιαστική αρχή απαρίθμησης.
Έστω πρώτος αριθμός και θετικός ακέραιος. Συμβολίζουμε με το πλήθος των ακεραίων αριθμών με για τους οποίους ο διωνυμικός συντελεστής δεν είναι πολλαπλάσιο του
Έστω ακόμη ότι το ανάπτυγμα του με βάση το είναι
όπου για
Τότε ισχύει ότι
Για βρίσκουμε άμεσα ότι το πλήθος των περιττών διωνυμικών συντελεστών της μορφής όπου είναι ίσο με
όπου το πλήθος των μη μηδενικών ψηφίων του αναπτύγματος του με βάση το και το ζητούμενο του προβλήματος έπεται.
Για την απόδειξη του γενικότερου ισχυρισμού, θα χρησιμοποιήσουμε ένα γνωστό αποτέλεσμα του Lucas:
Αν και όπου για τότε ισχύει
Παρατηρούμε τώρα ότι ο δε διαιρεί το διωνυμικό συντελεστή αν και μόνο αν ο δε διαιρεί κανέναν από τους διωνυμικούς συντελεστές με Εφόσον, όμως, αυτό θα συμβαίνει αν και μόνο αν ο παίρνει μια από τις τιμές για κάθε Ο ισχυρισμός έπεται τώρα άμεσα από την πολλαπλασιαστική αρχή απαρίθμησης.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες