Προκριματικός Ελβετίας, 2003

#1

Προκριματικός Ελβετίας, 2003

1. Οι πραγματικοί αριθμοί x, y, a

είναι τέτοιοι ώστε
x + y = a

Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

2. Έστω

ένα οξυγώνιο τρίγωνο και E, F

τα ίχνη των υψών από τις κορυφές

και

Έστω, ακόμη,

η προβολή του

στην ευθεία

και

η προβολή του

στην ευθεία EF.

Δείξτε ότι |HE| = |F G|.

3. Να βρείτε το μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό C_1

και το μικρότερο πραγματικό αριθμό C_2

έτσι ώστε για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c,d,e

να ισχύει

$\displaystyle{C_1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{e+a}<C_2.}$

4. Βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών $a^{25} −a, \ a\in \Bbb{Z}.$

5.

6. Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

με $\displaystyle{a+b+c=2}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{27}{13}.}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

7. Βρείτε όλα τα πολυώνυμα Q(x) = ax^2 + bx + c

με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε να υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο πρώτοι p_1, p_2, p_3

με

8. Έστω

τρίγωνο και $\omega_1$ κύκλος που περνά από τα A_1

και

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν κύκλοι $\omega_2, . . . ,\omega_7$ τέτοιοι ώστε
(α) ο $\omega_k$ περνά από τα A_k

και $A_{k+1}$ για $k = 2, 3, . . . , 7, (Ai = A_{i+3})$
(β) οι $\omega_k$ και $\omega_{k+1}$ εφάπτονται εξωτερικά για k = 1, 2, . . . , 6.

Δείξτε ότι $\omega_1 =\omega_7.$

9. Δοθέντων ακεραίων $0 < a_1 < a_2 < . . . < a_{101} < 5050,$ δείξτε ότι υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο a_k, a_l, a_m, a_n

τέτοιοι ώστε $\displaystyle{5050|(a_k + a_l − a_m − a_n).}$

10. Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(n)) = 3n. , }$ για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

harrisp · #2

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2003

1. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε

Αρχικά ας ξεκεθαρίσουμε με τις περιπτώσεις x=0

και

. Εστω λοιπόν y=0

. Αρα:

. Εύκολα παίρνουμε σ΄αυτήν την περίπτωση ότι οι δυνατές τιμές του

είναι

. Στις ίδιες ακριβώς λύσεις καταλήγουμε στην περίπτωση x=0

.

Εστω τώρα ότι $x,y\ne 0$ .

Για ευκολία έστω:

x + y = a

Πολλαπλασιάζω την (1)

με την

και παίρνω:

x^6+x^5y+xy^5+y^6=a^2

Ομως

Αρα

δηλαδή:

$x^6+x^5y+xy^5+y^6=(x^3+y^3)(x^3+y^3) \Leftrightarrow \Leftrightarrow x^6+x^5y+xy^5+y^6=x^6+2x^3y^3+y^6 \Leftrightarrow x^5y+xy^5=2x^3y^3$ .

Τώρα μπορώ να διαιρέσω με

και έτσι παίρνουμε

$x^4+y^4=2x^2y^2 \Leftrightarrow (x^2-y^2)^2=0 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0$ . Αρα x=y

ή

. Εύκολα παίρνουμε και σε αυτήν την περίπτωση ότι οι δυνατές τιμές του

είναι

.

Συμπερασματικά οι πιθανές τιμές που ο

μπορεί να πάρει είναι -2,-1,0,1,2

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2003

6. Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς με $\displaystyle{a+b+c=2}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{27}{13}.}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Andreescu.

Έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1^{2}}{1+ab}+\frac{1^{2}}{1+bc}+\frac{1^{2}}{1+ca}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{27}{9+3(ab+bc+ca)}}$ (1)

Όμως ισχύει ότι $4=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (2)

Άρα από την (1) και τη (2) έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{27}{9+3(ab+bc+ca)}\geq \frac{27}{13}}$

Η ισότητα προκύπτει από την (2) όταν $a=b=c=\dfrac{2}{3}$

#4

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2003

2. Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο και τα ίχνη των υψών από τις κορυφές και
Έστω, ακόμη, η προβολή του στην ευθεία και η προβολή του στην ευθεία
Δείξτε ότι

: Swiss-2003.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 905 φορές

$\displaystyle{(ABC) = \frac{{AC \cdot BE}}{2} = \frac{{AB \cdot CF}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AB}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{CF}}}$ (1)

Τα ορθογώνια τρίγωνα ABD, EBG

είναι όμοια, καθώς επίσης και τα ACD, FCH

:

$\displaystyle{\frac{{AB}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{GE}},\frac{{AC}}{{CF}} = \frac{{AD}}{{FH}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} GE = FH \Leftrightarrow }$ $\boxed{HE=FG}$

harrisp · #5

Γεια σε όλους!

Λίγο διαφορετικά από τον κύριο Γιώργο.

Στο σχήμα οι γωνίες με το ίδιο χρώμα είναι ίσες. Αρα τα τρίγωνα FGB, EBC

και

είναι όμοια και το ζητούμενο προκύπτει εύκολα . . .

#6

socrates έγραψε: 3. Να βρείτε το μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό και το μικρότερο πραγματικό αριθμό έτσι ώστε για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς να ισχύει

$\displaystyle{C_1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{e+a}<C_2.}$

Ας γράψουμε $\displaystyle{S = S(a,b,c,d,e) = \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+e}+\frac{e}{e+a}}$

Έχουμε

$\displaystyle{ S > \frac{a}{a+b+c+d+e}+\frac{b}{a+b+c+d+e}+\frac{c}{a+b+c+d+e}+\frac{d}{a+b+c+d+e}+\frac{e}{a+b+c+d+e} = 1}$

Επίσης

$\displaystyle{ S = 5 - \left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{e}{d+e}+\frac{a}{e+a} \right) < 5-1=4}$

με την τελευταία ανισότητα να αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο όπως αποδείξαμε και ότι S > 1

.

Μέχρι στιγμής έχουμε δείξει ότι 1 < S < 4

.

Επιπλέον $\displaystyle{S(1,x,x^2,x^3,x^4) = \frac{4}{1+x} + \frac{x^4}{1+x^4}}$

Έχουμε $S(1,x,x^2,x^3,x^4) \to 4$ αν $x \to 0$ και $S(1,x,x^2,x^3,x^4) \to 1$ αν $x \to \infty$ . Επειδή η

είναι ρητή συνάρτηση του

(και άρα συνεχής) αυτό δείχνει πως η ανισότητα 1 < S < 4

δεν βελτιώνεται και άρα C_1 = 1

και

.

Αρκετά παρόμοια είναι η άσκηση 5 της ΙΜΟ του 1974. Δείτε π.χ. εδώ.

Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2003

Μέλη σε σύνδεση