Βουλγάρικο Πρόβλημα 8

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Βουλγάρικο Πρόβλημα 8

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιούλ 15, 2013 1:49 am

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση \displaystyle{z^2+1=xy(xy+2y-2x-4).}


Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{z^2+1=(k^2-1)(l^2-1),} όπου \displaystyle{k=x+1, \ l=y-1.}

Αν k περιττός, τότε \displaystyle{z^2+1\equiv 0\pmod 4,} άτοπο.

Αν k άρτιος με |k|\geq 2 τότε \displaystyle{k^2-1\geq 3} και \displaystyle{k^2-1\equiv 3 \pmod 4} οπότε υπάρχει πρώτος p\equiv 3\pmod 4 με \displaystyle{p|k^2-1|z^2+1}

που σημαίνει \displaystyle{p|1,} άτοπο (δείτε πχ εδώ).

Μένει η περίπτωση \displaystyle{k=0} που δίνει \displaystyle{z=l=0} ή \displaystyle{(x,y,z)=(-1,1,0).}


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης