Βουλγάρικο Πρόβλημα 8

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6603; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Βουλγάρικο Πρόβλημα 8

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Ιούλ 15, 2013 1:49 am

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση $\displaystyle{z^2+1=xy(xy+2y-2x-4).}$

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{z^2+1=(k^2-1)(l^2-1),}$ όπου $\displaystyle{k=x+1, \ l=y-1.}$

Αν

περιττός, τότε $\displaystyle{z^2+1\equiv 0\pmod 4,}$ άτοπο.

Αν

άρτιος με $|k|\geq 2$ τότε $\displaystyle{k^2-1\geq 3}$ και $\displaystyle{k^2-1\equiv 3 \pmod 4}$ οπότε υπάρχει πρώτος $p\equiv 3\pmod 4$ με $\displaystyle{p|k^2-1|z^2+1}$

που σημαίνει $\displaystyle{p|1,}$ άτοπο (δείτε πχ εδώ).

Μένει η περίπτωση $\displaystyle{k=0}$ που δίνει $\displaystyle{z=l=0}$ ή $\displaystyle{(x,y,z)=(-1,1,0).}$

Θανάσης Κοντογεώργης

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης