ΣΥΣΤΗΜΑ 5 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

nikoszan · #1

Nα λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4(y + \frac{1}{y}) = 5(z + \frac{1}{z})\\ xy + yz + zx = 1\\ \left( {x,y,z \in {R^ * }} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Γεια σου Νίκο. Ουσιαστικά είναι ίδιο με αυτό.

parmenides51 · #3

Προσαρμόζω την λύση της παραπομπής στα δοθέντα δεδομένα

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4(y + \frac{1}{y}) = 5(z + \frac{1}{z})\\ xy + yz + zx = 1\\ \left( {x,y,z \in {R^ * }} \right) \end{array} \right.$

Πρώτα βρίσκουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x,y,z)}$ με $\displaystyle{x,y,z>0}$ (αφού, φανερά, τα $\displaystyle{x,y,z}$ είναι ομόσημα).

Θέτουμε

$\displaystyle{x=\tan \frac{A}{2},y=\tan \frac{B}{2},z=\tan \frac{C}{2},}$ (**)

οπότε οι εξισώσεις γράφονται

$\displaystyle{3\frac{\tan^2 \frac{A}{2}+1}{\tan \frac{A}{2}}=4\frac{\tan^2 \frac{B}{2}+1}{\tan \frac{B}{2}}=5\frac{\tan^2 \frac{C}{2}+1}{\tan \frac{C}{2}}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1}{3}\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1+\tan ^2\frac{A}{2}}=\frac{1}{4}\frac{2\tan \frac{B}{2}}{1+\tan ^2\frac{B}{2}}=\frac{1}{5}\frac{2\tan \frac{C}{2}}{1+\tan ^2\frac{C}{2}}}$ (1)

$\displaystyle{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1}$ (2).

Από τη δεύτερη προκύπτει ότι τα $\displaystyle{A,B,C}$ είναι γωνίες τριγώνου,

ενώ από την (1) έχουμε $\displaystyle{\frac{\sin A}{3}=\frac{\sin B}{4}=\frac{\sin C}{5}.}$

Επειδή ισχύει $\displaystyle{3^2+4^2=5^2,}$ το $\displaystyle{\triangle ABC}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{C=90^0,}$

οπότε $\displaystyle{\sin C=1,~ \sin A=\frac{3}{5},~ \sin B=\frac{4}{5}.}$

Με χρήση της $\displaystyle{\sin 2t=\frac{2\tan t}{1+\tan ^2t}}$ από τις (**)

λύνοντας τις $\displaystyle{\frac{3}{5}=\frac{2 x}{1+x^2},\frac{4}{5}=\frac{2 y}{1+y^2},1=\frac{2 z}{1+z^2}}$

βρίσκουμε $\displaystyle{x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1.}$

Τότε, λύση είναι και η $\displaystyle{x=-\frac{1}{3},y=-\frac{1}{2},z=-1.}$

ΣΥΣΤΗΜΑ 5 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 5 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 5 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 5 (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Μέλη σε σύνδεση