ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + x + ... + {x_n} = 0\\ {3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} + ... + {3^{{x_n}}} = 3\\ \left( {{x_1},x,...,{x_n} \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=3^t}$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R},}$ οπότε από την ανισότητα Jensen έχουμε

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\geq nf\Bigg(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\Bigg)}$ ,

οπότε λόγω των εξισώσεων βρίσκουμε $\displaystyle{n\leq 3,}$ άρα $\displaystyle{n=1\vee n=2\vee n=3.}$

Η περίπτωση $\displaystyle{n=1}$ προφανώς οδηγεί σε άτοπο.

Για $\displaystyle{n=2}$ καλούμαστε να λύσουμε το σύστημα

$\displaystyle{a+b=0,3^a+3^b=3}$ άρα $\displaystyle{3^a+\frac{1}{3^a}=3\implies a=\log_{3}\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}.}$

Οπότε έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(a,-a),(-a,a).}$

Για $\displaystyle{n=3}$ έχουμε ισότητα στη Jensen άρα $\displaystyle{x_1=x_2=\cdots =x_n=0.}$

#3

Από την ανισότητα

$\displaystyle{{3^x} = {e^{x\ln 3}} \ge x\ln 3 + 1}$

προκύπτει ότι

$\displaystyle{3 = \sum\limits_{k = 1}^n {{3^{{x_k}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{x_k}\ln 3 + 1} \right)} = \ln 3\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} + n = n,}$

δηλαδή $\displaystyle{n \le 3.}$

Η περίπτωση $\displaystyle{n = 1}$ δίνει $\displaystyle{{3^0} = 3,}$ άτοπο.

Η περίπτωση $\displaystyle{n = 2}$ δίνει

$\displaystyle{{3^{{x_1}}} + {3^{ - {x_1}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{3^{{x_1}}}} \right)^2} - 3 \cdot {3^{{x_1}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow {3^{{x_1}}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow {x_1} = {\log _3}\left( {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right) = - {x_2}.}$

Τέλος, στην περίπτωση $\displaystyle{n = 3}$ η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου δίνει

$\displaystyle{{3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} + {3^{{x_3}}} \ge 3\sqrt[3]{{{3^{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}}} = 3,}$

οπότε $\displaystyle{{x_1} = {x_2} = {x_3} = 0}$ .

Θάνο, πληκτρολογείς πιο γρήγορα κι από τη σκιά σου!

nikoszan · #4

Είστε πιό γρήγοροι και από τον άνεμο.

Η άσκηση αυτή είναι η τελευταία αυτού του αρχείου.Ευχαριστώ ολους τους φίλους για τις όμορφες λύσεις που έδωσαν καθώς επίσης και τον φίλο μας τον parmenides51 για ευνόητους λόγους.
Ν.Ζ.

parmenides51 · #5

μια διαφορετική συνέχεια αφού βρούμε το πλήθος των αγνώστων

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 0\\ {3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} + ... + {3^{{x_n}}} = 3\\ \left( {{x_1},{x_2},...,{x_n} \in R} \right) \end{array} \right.$

Αφού αποδείξουμε οτι $\displaystyle{n\le 3}$ όπως προηγουμένως

διακρίνουμε τις περιπτώσεις $\displaystyle{n=1,2,3}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{n=1}$ , έχουμε να λύσουμε στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x_1 = 0\\ {3^{{x_1}}} = 3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1 = 0\\ x_1= 1 \end{array} \right.$ που είναι αδύνατο.

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{n=2}$ , έχουμε να λύσουμε στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ το σύστημα

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 0\\ 3^{x_1} + 3^{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_2 = -x_1\\ 3^{x_1} + 3^{-x_1} = 3 \end{array} \right. \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow }^{y=3^{x_1}>0}\left\{ \begin{array}{l} x_2 = -x_1\\ y^2 - 3y+1=0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_2 = -x_1\\ \displaystyle y=\frac{3\pm \sqrt5}{2} \end{array} \right. \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow }^{y=3^{x_1}>0}\left\{ \begin{array}{l} x_2 = -x_1\\ \displaystyle 3^{x_1} =\frac{3\pm \sqrt5}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x_1=\log_3 \displaystyle \frac{3\pm \sqrt5}{2}=-x_2$

οπότε $\displaystyle{(x_1,x_2)=\left(\log_3 \displaystyle \frac{3+ \sqrt5}{2},-\log_3 \displaystyle \frac{3+\sqrt5}{2}\right)}$ ή $\displaystyle{\left(\log_3 \displaystyle \frac{3-\sqrt5}{2},-\log_3 \displaystyle \frac{3- \sqrt5}{2}\right)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{n=3}$ , έχουμε να λύσουμε στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + x_3 = 0\\ {3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} + {3^{{x_3}}} = 3 \end{array} \right.$

$\displaystyle{x_1 + x_2 + x_3 = 0\Leftrightarrow \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{3} =0}$

οπότε $\displaystyle{3^{x_1}+ 3^{x_2} + 3^{x_3} = 3\Leftrightarrow 3^{ 3\frac{x_1}{3}}+ 3^ {3\frac{x_2}{3}} + 3^{ 3\frac{x_3}{3}} = 3\cdot 3^0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(3^{ \frac{x_1}{3}}\right)^3+\left(3^{ \frac{x_2}{3}}\right)^3+\left(3^{ \frac{x_3}{3}}\right)^3=3\cdot 3^{\frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} + \frac{x_3}{3}}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(3^{ \frac{x_1}{3}}\right)^3+\left(3^{ \frac{x_2}{3}}\right)^3+\left(3^{ \frac{x_3}{3}}\right)^3=3\cdot 3^{\frac{x_1}{3}}\cdot 3^{ \frac{x_2}{3}}\cdot 3^{ \frac{x_3}{3}}}$

κι επειδή από την ταυτότητα του Euler έχουμε $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a+b+c=0}$ ή $\displaystyle{a=b=c}$

θα ισχύει $\displaystyle{3^{\frac{x_1}{3}}+ 3^{ \frac{x_2}{3}}+ 3^{ \frac{x_3}{3}}=0}$ , που είναι αδύνατο διότι $\displaystyle{3^{\frac{x_1}{3}},3^{\frac{x_2}{3}},3^{\frac{x_3}{3}}>0}$

ή $\displaystyle{3^{\frac{x_1}{3}}=3^{ \frac{x_2}{3}}=3^{ \frac{x_3}{3}}\Rightarrow \frac{x_1}{3}=\frac{x_2}{3}=\frac{x_3}{3}\Leftrightarrow x_1=x_2=x_3}$

κι αφού $\displaystyle{x_1 + x_2 + x_3 = 0}$ θα ισχύει οτι $\displaystyle{x_1=x_2=x_3=0}$

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Μιχάλη Λάμπρου για την διόρθωση στις περιπτώσεις.

ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 40(ΡΟΥΜΑΝΙΑ)

Μέλη σε σύνδεση