Πολυώνυμο με συντελεστές στο {-1,1}

#1

Έστωσαν πολυώνυμα $P(x)=x^{2015}-2x^{2014}+1$ και $Q(x)=x^{2015}-2x^{2014}-1.$
Να εξετάσετε αν μπορούν να P,Q

(σαν ξεχωριστά ερωτήματα) να διαιρούν ένα πολυώνυμο που οι συντελεστές του είναι όλοι είτε

ή

#2

Σιλουανέ, στην αρχή μπερδεύτηκα ότι ήθελες το ίδιο πολυώνυμο να διαιρείται και από το

και από το

ενώ μάλλον θέλεις να τα ελέγξουμε ξεχωριστά.

Για το P(x)

έχουμε $\displaystyle{(x^{2014} + x^{2013} + \cdots + x + 1)P(x) = x^{4029} - (x^{4028} + \cdots + x^{2014}) + (x^{2013} + \cdots + x^1 + 1)}$ .

Για το Q(x)

παρατηρώ ότι Q(2) = - 1 < 0

και $Q(3) = 3^{2014} - 1 > 0$ οπότε το Q(x)

έχει μια ρίζα $\alpha$ με $\alpha \in (2,3)$ . Έστω τώρα R(x)

πολλαπλάσιο του Q(x)

με συντελεστές μόνο $\pm 1$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας ο μεγιστοβάθμιος όρος του R(x)

είναι ο

. Τότε έχουμε

$\displaystyle{ 0 = R(\alpha) \geqslant \alpha^n - (\alpha^{n-1} + \cdots + 1) = \alpha^n - \frac{\alpha^n-1}{\alpha-1} > \alpha^n - \frac{\alpha^n-1}{2-1} = 1 > 0,}$

άτοπο.

#3

Δημήτρη πολύ ωραία! Συγγνώμη για την ασάφεια στην εκφώνηση και σκέψου ότι μου πέρασε από το μυαλό να το διευκρινίσω.
Η άσκηση ήταν θέμα του διαγωνισμού Vojtech Jarnik.
Την ιδέα αυτή με τους συντελεστές στο $\{-1,1\}$ την είχα πρωτοδεί πριν χρόνια σε αυτή την άσκηση http://artofproblemsolving.com/communit ... 906p475370

Πολυώνυμο με συντελεστές στο {-1,1}

Πολυώνυμο με συντελεστές στο {-1,1}

Re: Πολυώνυμο με συντελεστές στο {-1,1}

Re: Πολυώνυμο με συντελεστές στο {-1,1}

Μέλη σε σύνδεση