Βρείτε τη γωνία χ (56)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνονται: ${\rm A}{\rm Z} = 2,\,\Delta \Gamma = 3 - \sqrt 5$ , ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm E} = {30^ \circ },\,{\rm E}\widehat {\rm A}\Delta = {12^ \circ },\,\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = {24^ \circ }$ , ${\rm A}\widehat {\rm E}{\rm B} = {\rm B}\widehat {\rm E}{\rm Z}$ . Βρείτε τη γωνία $x = {\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm E}$ .

: x56.jpg (132.86 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Ιστοσελίδα · #2

Καλημέρα

Να επαναφέρω την άσκηση με μία υπόδειξη, χρησιμοποιώντας θεωρία χρυσού ισοσκελούς τριγώνου $\left( {{{36}^ \circ } - {{72}^ \circ } - {{72}^ \circ }} \right)$ .

: goldenisosceles.gif (40.58 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Ιστοσελίδα · #3

Αφού δεν απαντήθηκε έως τώρα να δώσω μια "ημιτελή" τριγωνομετρική λύση.

Θέτω ${\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = \varphi$ .Θα ισχύει ${\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \varphi + {24^ \circ }$ (εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΓΔ), ${\rm A}\widehat {\rm E}{\rm B} = \varphi + {36^ \circ } = {\rm B}\widehat {\rm E}{\rm Z}$ (εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΓΕ) και από το άθροισμα γωνιών στο τρίγωνο ΑΕΖ έχουμε: ${\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm E} = {78^ \circ } - 2\varphi$ .

Περιορισμός: ${78^ \circ } - 2\varphi > 0 \Rightarrow \varphi < {39^ \circ }$ .

Από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΔΕ της υπόδειξης παίρνουμε:

$\displaystyle\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \displaystyle\frac{{\eta \mu {{18}^ \circ }}}{{\eta \mu {{54}^ \circ }}}\,\,(1)$

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ΑΓΔ, ΑΔΕ, ΑΕΖ έχουμε:

$\displaystyle\frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\eta \mu {{24}^ \circ }}} = \displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu \varphi }}\,\,(2)$

$\displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{\eta \mu (\varphi + {{24}^ \circ })}} = \displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu \left[ {{{180}^ \circ } - (\varphi + {{36}^ \circ })} \right]}}\,\,(3)$

$\displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{\eta \mu ({{78}^ \circ } - 2\varphi )}} = \displaystyle\frac{2}{{\eta \mu \left[ {2 \cdot (\varphi + {{36}^ \circ })} \right]}}\,\,(4)$

Από τις σχέσεις (1), (2), (3), (4) προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση:

$\displaystyle\frac{{\eta \mu {{54}^ \circ } \cdot \eta \mu {{24}^ \circ }}}{{\eta \mu {{18}^ \circ } \cdot \eta \mu \left( {2\varphi + {{72}^ \circ }} \right)}} = \displaystyle\frac{{\eta \mu \varphi \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{24}^ \circ }} \right)}}{{\eta \mu \left( {{{78}^ \circ } - 2\varphi } \right) \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{36}^ \circ }} \right)}}$

Στο σημείο αυτό παρακαλούνται οι τριγωνομέτρες του να βοηθήσουν στην επίλυσή της…

: x56-sol.jpg (30.58 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

#4

κοιτάζοντας προηγούμενες δημοσιεύσεις βρήκα και αυτή την τριγωνομετρική
... για να δούμε...

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Από τις σχέσεις (1), (2), (3), (4) προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση:

$\displaystyle\frac{{\eta \mu {{54}^ \circ } \cdot \eta \mu {{24}^ \circ }}}{{\eta \mu {{18}^ \circ } \cdot \eta \mu \left( {2\varphi + {{72}^ \circ }} \right)}} = \displaystyle\frac{{\eta \mu \varphi \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{24}^ \circ }} \right)}}{{\eta \mu \left( {{{78}^ \circ } - 2\varphi } \right) \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{36}^ \circ }} \right)}}$

για ευκολία τα αλλάζω λίγο και τη γωνία φ τη λέω χ

έχουμε ισοδύναμα: $\displaystyle{\frac{\sin 54^o\cdot \sin 24^o}{\sin 18^o}=\frac{\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot \sin(2x+72^o)}{\sin(78^o-2x)\cdot \sin(x+36^o)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2\cdot\sin 30^o\cdot\sin 54^o\cdot \sin 24^o}{\sin 18^o}=\frac{\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot 2\cdot \cos(x+36^o)}{\sin(78^o-2x)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2\cdot\sin 30^o\cdot\sin(30^o+24^o)\cdot \cos (30^o+36^o)}{\sin(78^o-2\cdot 30^o)}=\frac{2\cdot\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot \cos(x+36^o)}{\sin(78^o-2x)}\Leftrightarrow {\color{red}\boxed{x=30^o}}}$

εδώ το ερώτημά μου είναι :με τον περιορισμό που έχει γράψει πιο πάνω ο Μιχάλης $(\varphi<39^o)$ μπορούμε έτσι απλά να δεχθούμε ότι x=30^o

???

GVlachos · #5

Φωτεινή έγραψε:κοιτάζοντας προηγούμενες δημοσιεύσεις βρήκα και αυτή την τριγωνομετρική
... για να δούμε...
Μιχάλης Νάννος έγραψε: Από τις σχέσεις (1), (2), (3), (4) προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση:

$\displaystyle\frac{{\eta \mu {{54}^ \circ } \cdot \eta \mu {{24}^ \circ }}}{{\eta \mu {{18}^ \circ } \cdot \eta \mu \left( {2\varphi + {{72}^ \circ }} \right)}} = \displaystyle\frac{{\eta \mu \varphi \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{24}^ \circ }} \right)}}{{\eta \mu \left( {{{78}^ \circ } - 2\varphi } \right) \cdot \eta \mu \left( {\varphi + {{36}^ \circ }} \right)}}$
για ευκολία τα αλλάζω λίγο και τη γωνία φ τη λέω χ

έχουμε ισοδύναμα: $\displaystyle{\frac{\sin 54^o\cdot \sin 24^o}{\sin 18^o}=\frac{\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot \sin(2x+72^o)}{\sin(78^o-2x)\cdot \sin(x+36^o)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2\cdot\sin 30^o\cdot\sin 54^o\cdot \sin 24^o}{\sin 18^o}=\frac{\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot 2\cdot \cos(x+36^o)}{\sin(78^o-2x)}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\frac{2\cdot\sin 30^o\cdot\sin(30^o+24^o)\cdot \cos (30^o+36^o)}{\sin(78^o-2\cdot 30^o)}=\frac{2\cdot\sin x \cdot \sin(x+24^o)\cdot \cos(x+36^o)}{\sin(78^o-2x)}\Leftrightarrow {\color{red}\boxed{x=30^o}}}$

εδώ το ερώτημά μου είναι :με τον περιορισμό που έχει γράψει πιο πάνω ο Μιχάλης $(\varphi<39^o)$ μπορούμε έτσι απλά να δεχθούμε ότι ???

Η συνάρτηση sin(x)

είναι γνησίως αύξουσα και η sin(78-2x)

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό, άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση.

Βρείτε τη γωνία χ (56)

Βρείτε τη γωνία χ (56)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (56)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (56)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (56)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (56)

Μέλη σε σύνδεση