Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

#1

Επί της διχοτόμου τριγώνου θεωρούμε τυχόν σημείο και έστω τα σημεία $E\equiv AC\cap BP$ και $F\equiv AB\cap CP.$ Αποδείξτε ότι $\angle XAD = \angle DAZ,$ όπου $X\equiv BP\cap DF$ και $Z\equiv CP\cap DE.$

Κώστας Βήττας.

Παναγιώτης 1729 · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #3

Εστω $M = AX \cap BC$ και $N = AZ \cap BC$ . Από θεώρημα Ceva στο $\triangle{ABD}$ έχουμε $\displaystyle \frac{BM}{MD} = \frac{BF}{AF} \frac{AP}{PD} \ (1)$ . Ομοίως στο $\triangle{ACD}$ έχουμε $\displaystyle \frac{CN}{ND} = \frac{CE}{AE} \frac{AP}{PD} \ (2)$ .

Επίσης, στο $\triangle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{BF}{AF} \frac{AE}{EC} \ (3)$ . Εστω $x = \angle{XAD}, y = \angle{ZAD}$ .

Από τις (1),(2),(3)

έχουμε $\displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MD} \frac{DN}{NC} = \frac{AB \sin(A/2 - x)}{AD \sin x} \frac{AD \sin y}{AC \sin(A/2 - y)}$ . Από τη μονοτονία της $\displaystyle \frac{\sin(A/2 - x)}{\sin x}$ για οξείες γωνίες έχουμε x = y

.

Δημήτρης Σκουτέρης

dimitris pap · #4

Παναγιώτης 1729 έγραψε:Το ζητούμενο προκύπτει από τις παρακάτω παρατηρήσεις:

Αφού τα είναι συμμετρικά των αντίστοιχα προς τη διχοτόμο της $\widehat{BAC}$ , τα είναι συμμετρικά προς την ίδια ευθεία.

Παναγιώτη μπορείς να εξηγήσεις λίγο πώς έβγαλες αυτές τις αρμονικές δέσμες??
Δεν νομίζω ότι ισχύει ότι είναι αρμονικές, γιατί αλλιώς αν δεις την τομή τους με την BC θα δεις ότι θα'πρεπε η AX, AY

να τέμνονται στο ίδιο σημείο της

(πράγμα φανερά άτοπο). Μήπως εννοείς κάτι άλλο?

GVlachos · #5

Παναγιώτης 1729 έγραψε:
Το ζητούμενο προκύπτει από τις παρακάτω παρατηρήσεις:
(AB,AD,AX,AC)=-1
(AC,AD,AZ,AB)=-1
Αφού τα B,D,C είναι συμμετρικά των C,D,B αντίστοιχα προς τη διχοτόμο της \widehat{BAC}, τα X,Z είναι συμμετρικά προς την ίδια ευθεία.

Παναγιώτη μπορείς να εξηγήσεις λίγο πώς έβγαλες αυτές τις αρμονικές δέσμες??
Δεν νομίζω ότι ισχύει ότι είναι αρμονικές, γιατί αλλιώς αν δεις την τομή τους με την BC θα δεις ότι θα'πρεπε η AX, AY να τέμνονται στο ίδιο σημείο της BC (πράγμα φανερά άτοπο). Μήπως εννοείς κάτι άλλο?
Παναγιώτης 1729 έγραψε:Το ζητούμενο προκύπτει από τις παρακάτω παρατηρήσεις:

Αφού τα είναι συμμετρικά των αντίστοιχα προς τη διχοτόμο της $\widehat{BAC}$ , τα είναι συμμετρικά προς την ίδια ευθεία.
Παναγιώτη μπορείς να εξηγήσεις λίγο πώς έβγαλες αυτές τις αρμονικές δέσμες??
Δεν νομίζω ότι ισχύει ότι είναι αρμονικές, γιατί αλλιώς αν δεις την τομή τους με την BC θα δεις ότι θα'πρεπε η να τέμνονται στο ίδιο σημείο της (πράγμα φανερά άτοπο). Μήπως εννοείς κάτι άλλο?

Δημήτρη, αν δεν κάνω λάθος, αφού το τετράπλευρο ΑFΒPDC είναι πλήρες, οι διαγώνιες FD,AC διαιρούν αρμονικά την BP, οπότε τα X,E διαιρούν αρμονικά τα B,P, οπότε η 1η δέσμη είναι αρμονική.Ομοίως δείχνουμε και για τη 2η δέσμη.

#6

Νομίζω ότι είναι μία έξοχη λύση, αυτή που μας έδωσε ο Παναγιώτης και ομολογώ ότι τη ζήλεψα πραγματικά.

Για τις Αρμονικές δέσμες που αναφέρθηκαν πιο πάνω, αρκεί να δούμε τις αρμονικές σημειοσειρές $B,\ X,\ P,\ E$ και $C,\ Z,\ P,\ F,$ από τα πλήρη τετράπλευρα $BDPFAC,\ CDPEAB$ , αντιστοίχως.

Τα τρία ζεύγη των ομόλογων ακτίνων των Αρμονικών αυτών δεσμών, σχηματίζουν ίσες γωνίες και έτσι συμπεραίνεται ότι το ίδιο ισχύει και για το τέταρτο ζεύγος, από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Έστειλα αυτή την όμορφη απόδειξη στον Virgil Nicula και είμαι σίγουρος ότι θα τη χαρεί. Το πρόβλημα όπως έχει τεθεί, εμφανίζεται στο εξαιρετικά πλούσιο σε προβλήματα και λύσεις blog του, από όπου το πήρα ( πρόβλημα PP1 ).

http://www.artofproblemsolving.com/blog/48316

Παναγιώτης 1729 · #7

Η άσκηση αυτή είναι το πρόβλημα 934 στο βιβλίο "Επιπεδομετρία" του Γ. Τσίντσιφα.
Εκεί μπορείτε να βρείτε και τη λύση που έδωσα.

dimitris pap · #8

Ζητώ συγγνώμη για την λάθος παρατήρηση!! πολύ ωραία λύση Παναγιώτη! Σόρρυ, αλλά αυτά γίνονται όταν προσπαθείς να συνδιάσεις την δουλειά (complex analysis) με την διασκέδαση (mathematica

)

Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Re: Γεωμετρία - Διχοτόμος και ισογώνιες ευθείες.

Μέλη σε σύνδεση