Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

giannimani · #1

Έστω ABΓ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και Δ,E,Ζ τα ίχνη των υψών από τις κορυφές A,B,Γ, στις απέναντι πλευρές αντίστοιχα. Έστω Κ,Λ,Σ τα ίχνη των καθέτων από τα A,B,Γ στις EΖ,ΖΔ,ΔE, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AΚ,BΛ,ΓΣ είναι συντρέχουσες.

Ιστοσελίδα · #2

Αν

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε από το θεώρημα Nagel έχουμε
$OA\bot ZE$ , $OB\bot \Delta Z$ και $O\Gamma \bot \Delta E$ .

giannimani · #3

Η δική μου προσπάθεια , μη γνωρίζοντας το Θεώρημα του Nagel(!!) είναι με την ομοιοθεσία του κύκλου ΑΒΓ και του κύκλου ΔΕΖ με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ.Βρίσκεται στο αρχείο Sketchpad4.
Γιάννης Μανίκας

Ιστοσελίδα · #4

Φέρνουμε την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στην κορυφή

.
To $BE\Delta \Gamma$ είναι εγγράψιμο, άρα $\hat{\phi}=\hat{\Gamma}$ .
Ακόμα $\hat{\Gamma}=\hat{\omega}$ εγγεγραμμένη-αντίστοιχη χορδής και εφαπτομένης γωνία.
Άρα $\hat{\phi}=\hat{\omega}$ , οπότε η $\Delta E$ είναι παράλληλη της εφαπτομένης και
$OA\bot \Delta E$ .

#5

stranton έγραψε:Φέρνουμε την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στην κορυφή .
To $BE\Delta \Gamma$ είναι εγγράψιμο, άρα $\hat{\phi}=\hat{\Gamma}$ .
Ακόμα $\hat{\Gamma}=\hat{\omega}$ εγγεγραμμένη-αντίστοιχη χορδής και εφαπτομένης γωνία.
Άρα $\hat{\phi}=\hat{\omega}$ , οπότε η $\Delta E$ είναι παράλληλη της εφαπτομένης και
$OA\bot \Delta E$ .

Aυτή η απόξειξη ισχύει επίσης για κάθε κύκλο χορδής

, που τέμνει τις πλευρές $AC,\ AB$ του δοσμένου τριγώνου $\bigtriangleup ABC,$ στα σημεία $D,\ E,$ αντιστοίχως και τα οποία μπορεί επίσης να βρίσκονται στις προεκτάσεις των ως άνω πλευρών προς το μέρος του

ή προς το μέρος των $C,\ B.$

Ισχύει πάντοτε $OA\perp DE$ και οι ευθείες $BC,\ DE$ ονομάζονται αντιπαράλληλες ευθείες, ως προς τη γωνία $\angle A$ ( ως προς τις ευθείες $AB,\ AC$ της γωνίας $\angle A$ ).

Κώστας Βήττας.

Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Re: Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Re: Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Re: Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Re: Γεωμετρια - Συντρέχουσες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση