Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

#1

: Ισα τμήματα από σημείο επαφής.png (25.83 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Θεωρούμε δύο κύκλους $\displaystyle{\left( O \right),\left( {O'} \right)}$ εφαπτόμενους εσωτερικά στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Ας είναι $\displaystyle{B,C}$ τα αντιδιαμετρικά του $\displaystyle{A}$ ως προς τους $\displaystyle{\left( O \right),\left( {O'} \right)}$ αντίστοιχα,

και $\displaystyle{P,S}$ τα κοινά σημεία του $\displaystyle{\left( O \right)}$ με την εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( {O'} \right)}$ στο $\displaystyle{C}$ . Θεωρούμε τυχόν σημείο $\displaystyle{D}$ του ελάσσονος τόξου $\displaystyle{AP}$ του $\displaystyle{\left( O \right)}$ και έστω $\displaystyle{D' \equiv AD \cap \left( {O'} \right)}$ .

Αν $\displaystyle{H,H'}$ είναι οι ορθές προβολές των $\displaystyle{D,D'}$ στην $\displaystyle{AB}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{E \equiv D'H' \cap \left( O \right),E' \equiv DH \cap \left( {O'} \right)}$ (έστω όπως φαίνεται στο σχήμα) να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\boxed{\left( {AE} \right) = \left( {AE'} \right)}}$ .

Στάθης

S.E.Louridas · #2

$AE^2 = AH{'} \cdot AB = AD{'} \cdot AD = AH \cdot AC = AE{'} ^2 \Rightarrow AE = AE{'}$

edit: Εξαγωγή του hide.

#3

Στάθη,Σωτήρη καλησπέρα

μία απάντηση με χρήση Αντιστροφής

αντιστρέφουμε με πόλο

και λόγο $\lambda=(AE')^2$

η

αντιστρέφεται στον κύκλο διαμέτρου

αφού

είναι αντίστροφα

$P'' \leftrightarrow P$ ,ενώ ο μεγάλος κύκλος (διαμέτρου

) αντιστρέφεται στην KH'

έχουμε λοιπόν $\lambda=(AE')^2=AH\cdot AC=AH'\cdot AB=AK^2=AE^2\Longrightarrow AE'=AE$

KARKAR · #4

Σε σχήμα :

: ΕΥΒΟΙΑ.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

Re: Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

Re: Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

Re: Ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής

Μέλη σε σύνδεση