Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

#1

Όπως δείχνει το σχήμα, το ορθογώνιο χαρτί ΑΒΓΔ διπλώνεται κατά μήκος του

τμήματος ΕΖ ώστε η κορυφή Β να πέσει στο σημείο Η. Αν ΑΒ= 8

και ΗΕ = 5 , να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος ΗΖ.

Μπάμπης

p_gianno · #2

Μία απάντηση

folding paper.pdf: (64.25 KiB) Μεταφορτώθηκε 103 φορές

Π.Γ
Παρατήρηση
Τα σχήματα (δοθέν και δικό μου δεν είναι υπο κλίμακα)

margavare · #3

Στο ίδιο σχήμα χωρίς ομοιότητα με Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΘΖΗ.
ΖΘ=8
ΗΘ=ΗΔ=4-(8-x)=x-4
ΘΔ=ΖΓ=8-x

#4

Μία λύση με τα εργαλεία της τριγωνομετρίας,δίχως χρήση βοηθητικών.

: 15-10-2009 Geometry.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat{AEH} = \phi$ , με 0° < φ < 90°
Λόγω συμμετρίας, το ΕΗΖ είναι ίσο με το ΕΒΖ με ΕΗ = 5 και $\displaystyle \widehat{HEZ} = \widehat{ZEB} = \omega = 90^\circ - \frac{\phi }{2}$ ,
Στο ΑΕΗ είναι $\displaystyle \varepsilon \phi \phi = \frac{4}{3}\;\; \Rightarrow \;\;\frac{{2\varepsilon \phi \frac{\phi }{2}}}{{1 - \varepsilon \phi ^2 \frac{\phi }{2}}} = \frac{4}{3}\;\; \Rightarrow \;...\; \Rightarrow \;\varepsilon \phi \frac{\phi }{2} = \frac{1}{2}$ , (αφού φ οξεία γωνία).
Στο ΗΕΖ $\displaystyle \varepsilon \phi \omega = \frac{{{\rm H}{\rm Z}}}{{{\rm H}{\rm E}}}$ , οπότε: $\displaystyle \frac{{{\rm H}{\rm Z}}}{5} = \varepsilon \phi \left( {90^\circ - \frac{\phi }{2}} \right) = \sigma \phi \frac{\phi }{2} = 2\;\; \Rightarrow \;{\rm H}{\rm Z} = 10$

Γιώργος Ρίζος

#5

Αλλιώς:Φέρνουμε την ΗΒ. Τα τρίγωνα ΗΑΒ και ΕΒΖ είναι όμοια με λόγο καθέτων πλευρών 2, οπότε ΗΖ=ΖΒ=2ΗΒ=10.
Με τριγωνομετρία μπορούμε να το δούμε και ως εξής: Οι δύο οξείες γωνίες με κορυφή το Ζ (στο σχήμα του Rigio) είναι φ/2.
Τότε ΗΖ=ΗΕ σφ(φ/2)=5σφ(φ/2)= $5\sqrt{\frac{1+\sigma \upsilon \nu \phi }{1-\sigma \upsilon \nu \phi }}=5\sqrt{\frac{1+\frac{3}5{}}{1-\frac{3}{5}}}=10$ (αποτετργωνισμός)

p_gianno · #6

Ακόμη μία λύση

Από πυθαγόρειο στο ΗΔΕ προκύπτει ΔΗ=4.
Είναι ΕΗΖ=ΕΑΖ=90ο συνεπως ΕΖΗΑ εγγράψιμο και επομένως γωνΔΕΗ=γωνΗΖΑ=φ.
Προφανώς από τη συμμετρία – δίπλωση έχουμε γωνΖ1=Ζ2=φ/2. Φέρουμε τη διχοτόμο ΕΚ της Ε. Από το θεώρημα των διχοτόμων στο τριγΔΕΗ προκύπτει
$\displaystyle{\frac{{ED}}{{EH}} = \frac{{DK}}{{KH}}\, \to \frac{3}{5} = \frac{{DK}}{{KH}}\, \to \frac{3}{8} = \frac{{DK}}{{DH}} \to \frac{3}{8} = \frac{{DK}}{4} \to DK = \frac{3}{2} = 1,5}$
Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΔΕ,ΕΗΖ είναι όμοια συνεπώς
$\displaystyle{\frac{{DE}}{{ZH}} = \frac{{DK}}{{EH}}\, \to \frac{3}{{HZ}} = \frac{{1,5}}{5}\, \to HZ = 10}$

: FOLDING 2.PNG (5.92 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές

Π.Γ

Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Re: Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Re: Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Re: Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Re: Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Re: Γεωμετρία - Δίπλωμα χαρτιού

Μέλη σε σύνδεση