Βρείτε το μήκος της χορδής

[Μιχάλης Νάννος]

Στον παρακάτω κύκλο δίνεται , , και . Βρείτε το μήκος της χορδής .

χορδή.jpg (51.18 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

[matha]

Αν δεν κάνω λάθος αυτό είναι το θεώρημα της σπασμένης χορδής, του Αρχιμήδη, οπότε

Να δώσω και μία βιβλιογραφική αναφορά: R. Honsberger, Episodes in 19th and 20th century Euclidean Geometry, MAA, New Mathematical Library.

[Ανδρέας Πούλος]

Εγώ το αντιμετώπισα ως εξής.
Παίρνω το συμμετρικό σημείο Ζ του Γ ως προς το Ε και δείχνω ότι τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΒΓΔ είναι ίσα. Άρα ΓΔ = 5.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Κάνω πλήρη απόδειξη του ισχυρισμού μου.
Ισχύει ΒΓ = ΒΖ (1) λόγω συμμετρίας (ή από ίσα τρίγωνα).
Ισχύει ΑΒ = ΒΔ (2), αφού τα τόξα ΑΒ και ΒΔ είναι ίσα, δεδομένο.
Για να είναι τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΒΓΔ, αρκεί από το κριτήριο ΠΓΠ να ισχύει γωνία ΑΒΖ = γωνία ΓΒΔ.

Ονομάζω γωνία ΓΔΒ = φ = γωνία ΖΑΒ, αφού είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο το ΒΓ.
Ονομάζω γωνία ΓΒΔ = χ = γωνία ΖΑΔ, αφού είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο το ΓΔ.
Ονομάζω γωνία ΒΓΑ = ω = γωνία ΒΖΓ, αφού είναι γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου.
Άρα γωνία ΑΒΖ = ω - φ.
Όμως το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές, άρα γωνία ΒΔΑ = γωνία ΒAΔ, όμως γωνία ΒΔΑ = ω και γωνία ΒΑΔ = φ + χ.
Άρα ω = φ + χ, άρα ω - φ = χ, άρα γωνία ΑΒΖ = γωνία ΓΒΔ. Game over ή επί το ελληνικότερον όπερ έδει δείξαι (Ο.Ε.Δ.).

Σημειώση: Το χ που έθεσα δεν έχει σχέση με το χ, το μήκος της ζητούμενης χορδής.
Δίνω και το σχήμα που μου έστειλε ο ruxumuxu, τον οποίο ευχατριστώ γι΄ αυτό.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος