Βρείτε τη γωνία χ (43)

Ιστοσελίδα · #1

Το μέλος "ηλεκτρο" (από το μακρινό Καζακστάν) μου έστειλε την παρακάτω άσκηση:
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με σημείο Δ πάνω στην πλευρά ΒΓ τέτοιο ώστε ${\rm B}\Delta = {\rm A}\Gamma ,\,\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = x$ και ${\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = 2x,\,{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = 4x$ . Δείξτε ότι η γωνία x είναι ${10^ \circ }$ .

: ηλεκτρο.jpg (22.6 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Ιστοσελίδα · #2

Καλημέρα.
Να δώσω μια πρώτη προσέγγιση (άλλωστε δεν πρόκειται για δική μου άσκηση).

Με κέντρο Α και ακτίνα ΑΓ κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση του ΓΒ στο Ε. Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές με ${\rm A}\widehat {\rm E}\Gamma = {\rm A}\widehat \Gamma {\rm E} = 2x$ . Επίσης λόγω της εξωτερικής γωνίας ${\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = 4x$ το τρίγωνο ΒΕΑ θα είναι κι αυτό ισοσκελές με ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm E} = 2x$ . Πάνω στην πλευρά ΑΕ μεταφέρω το τρίγωνο ΑΒΔ, έτσι ώστε ΕΖ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΔ. Προφανώς θα ισχύει (από εξωτερική γωνία ${\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = 3x$ ) ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm Z} = x,\,{\rm Z}\widehat {\rm E}{\rm B} = 2x$ και το τρίγωνο ΕΖΒ θα είναι ισοσκελές (ΕΒ=ΕΖ) με ${\rm E}\widehat {\rm B}{\rm Z} = {\rm E}\widehat {\rm Z}{\rm B} = {90^ \circ } - x$ . Θέτω ${\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm B} = y$ και εφαρμόζω τριγωνομετρικό Ceva στο τρίγωνο ΑΕΖ :
$\displaystyle\frac{{\eta \mu 2x}}{{\eta \mu x}} \cdot \displaystyle\frac{{\eta \mu y}}{{\eta \mu \left( {{{90}^ \circ } - x} \right)}} \cdot \displaystyle\frac{{\eta \mu 2x}}{{\eta \mu 2x}} = 1 \Rightarrow \displaystyle\frac{{2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x \cdot \eta \mu y}}{{\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x}} = 1 \Rightarrow y = {30^ \circ }$
Από το τρίγωνο ΑΕΖ θα ισχύει: $2x + x + {30^ \circ } + {90^ \circ } - x + 2x + 2x = {180^ \circ } \Rightarrow x = {10^ \circ }$ .

: ηλεκτρο-sol.jpg (33.31 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

#3

... ας δώσουμε ακόμα μία (όχι ολοκληρωμένη ) απάντηση

$\displaystyle{\triangle:ADC->\frac{AC}{sin 3x}=\frac{AD}{sin 2x}},(1)$

$\displaystyle{\triangle:ADB->\frac{BD}{sin 7x}=\frac{AD}{sin 4x}},(2)$

$\displaystyle{(1),(2)\Longrightarrow \frac{sin 3x}{sin 2x}=\frac{sin 7x}{sin 4x}=>\dots=>x=10^o}$ Κυριακή πρωί-ας μην κάνω τις πράξεις

μήπως την έχουμε ξαναδεί;

#4

Και η ... τριγωνομετρική προσέγγιση στην άσκηση του Μιχάλη.

Στο ΑΒΔ: $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\eta \mu \widehat{{\rm B}{\rm A}\Delta }}} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu {\rm B}}}\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{\eta \mu 7x}}{{\eta \mu 4x}}$

Στο ΔΑΓ: $\displaystyle \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu \widehat{\Gamma \Delta {\rm A}}}} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu \Gamma }}\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{\eta \mu 3x}}{{\eta \mu 2x}}$

Αφού ΒΔ = ΑΓ, είναι: $\displaystyle \frac{{\eta \mu 7x}}{{\eta \mu 4x}} = \frac{{\eta \mu 3x}}{{\eta \mu 2x}}\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{\eta \mu 7x}}{{2\sigma \upsilon \nu 2x}} = \frac{{\eta \mu 3x}}{1}\; \Leftrightarrow \;\eta \mu 7x = 2\eta \mu 3x \cdot \sigma \upsilon \nu 2x$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu 7x = \eta \mu 5x + \eta \mu x\; \Leftrightarrow \;\eta \mu 7x - \eta \mu 5x = \eta \mu x\;\; \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu 6x = \eta \mu x\;\; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu 6x = \frac{1}{2}\; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu 6x = \sigma \upsilon \nu 60^\circ$
(αφού $\displaystyle \eta \mu x \ne 0$ ).

Αφού $\displaystyle 0^\circ < x < 45^\circ$ , είναι x = 10°.

Γιώργος Ρίζος

edit: (κι εγώ Κυριακή πρωί καθόμουν κι έκανα πράξεις...

)

Ιστοσελίδα · #5

Φωτεινή καλημέρα.
Μοιάζει (είναι η αντίστροφη θα έλεγα) αυτής της άσκησης που είχε ανεβάσει ο Σπύρος.

#6

Rigio έγραψε:
edit: (κι εγώ Κυριακή πρωί καθόμουν κι έκανα πράξεις... )

είχα αρχίσει να συμπληρώνω την άσκηση, αλλά κάνοντας προεπισκόπηση είδα την απάντησή σου.....

Γιώργο σκέφτηκα,τη γλύτωσα

Βρείτε τη γωνία χ (43)

Βρείτε τη γωνία χ (43)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (43)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (43)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (43)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (43)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (43)

Μέλη σε σύνδεση