ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1962

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Κάππος - Παπαϊωάννου

1. Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x,y,w,k}$ όταν $\displaystyle{x,y,w,k \ge 0}$ , οι $\displaystyle{x,y,w}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύουν και οι σχέσεις $\displaystyle{x<y<w \,\, ,\,\, ky^3=x^3+w^3}$ .

2. Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ στο οποίο είναι $\displaystyle{AB=A\Delta, B\Gamma={\color{red}\Gamma}\Delta=\frac{\lambda}{2}}$ , $\displaystyle{A\Gamma=\lambda}$ και $\displaystyle{ B\Delta=\frac{\lambda\sqrt3}{2}}$ , όπου $\displaystyle{ \lambda }$ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{Z }$ το σημείο τομής των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ . Να αποδειχθεί οτι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta B EZ }$ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού του περιγεγραμμένου κύκλου του τραπεζίου προς το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2x\sigma\upsilon\nu \phi +1-\eta\mu \phi =0}$ όπου $\displaystyle{x}$ άγνωστος και $\displaystyle{\phi }$ παράμετρος.
α) Να δειχτεί οτι για $\displaystyle{0<x<\frac{\pi}{2}}$ αυτή έχει δυο λύσεις πραγματικές άνισες και θετικές
β) Για $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<x<2\pi }$ υπάρχουν τιμές του $\displaystyle{\phi }$ ώστε οι ρίζες της εξίσωσης ναι είναι πραγματικές και ομόσημες;
γ) Για $\displaystyle{0<x<2\pi}$ να εξετασθεί εαν υπάρχουν τιμές του $\displaystyle{\phi}$ για τις οποίες το άθροισμα των τετραγώνων των δυο διαφορετικών λύσεων της εξίσωσης να ισούται με $\displaystyle{2}$ .

edit
διόρθωση στο 2ο, ευχαριστώ τον Γιώργο (Βισβίκη) που το πρόσεξε

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 1. Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x,y,w,k}$ όταν $\displaystyle{x,y,w,k \ge 0}$ , οι $\displaystyle{x,y,w}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύουν και οι σχέσεις $\displaystyle{x<y<w \,\, ,\,\, ky^3=x^3+w^3}$ .

Έστω $\displaystyle{x=y-a,w=y+a}$ με $\displaystyle{a\in\mathbb N^*}$ . Αντικαθιστούμε και έχουμε

$\displaystyle{ky^3=(y-a)^3+(y+a)^3\Leftrightarrow ky^3=2y^3+6a^2y\Leftrightarrow y[(k-2)y^2-6a^2]=0\overset{y\ne 0}\Leftrightarrow (k-2)y^2=6a^2~(1)}$ .

Αν $\displaystyle{k\leq 2}$ η (1) είναι αδύνατη. Για $\displaystyle{k> 2}$ έχουμε ισοδύναμα $\displaystyle{y^2=\frac{6a^2}{k-2}\overset{y>0}\Leftrightarrow y=a\sqrt{\frac{6}{k-2}}}$

Αφού οι $\displaystyle{y,a}$ είναι ακέραιοι, πρέπει ο $\displaystyle{\frac{6}{k-2}}}$ να είναι ακέραιος και μάλιστα τέλειο τετράγωνο.

Επομένως, πρέπει ο $\displaystyle{k-2}$ να είναι διαιρέτης του $\displaystyle{6}$ , δηλαδή $\displaystyle{k-2\in\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}\Leftrightarrow k\in\{-4,-1,0,1,3,4,5,8\}}$ .

Όμως $\displaystyle{k>2}$ άρα $\displaystyle{k\in\{3,5,4,8\}}$ .

$\displaystyle{\bullet }$ Αν $\displaystyle{k=3}$ έχουμε $\displaystyle{y=a\sqrt{6}\notin\mathbb N^*}$

$\displaystyle{\bullet }$ Αν $\displaystyle{k=4}$ έχουμε $\displaystyle{y=a\sqrt{3}\notin\mathbb N^*}$

$\displaystyle{\bullet }$ Αν $\displaystyle{k=5}$ έχουμε $\displaystyle{y=a\sqrt{2}\notin\mathbb N^*}$

$\displaystyle{\bullet }$ Αν $\displaystyle{k=8}$ έχουμε $\displaystyle{y=a\in\mathbb N^*}$ .

Τελικά έχουμε $\displaystyle{(x,y,w,k)=(0,a,2a,8),~a\in \mathbb N^*}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Κάππος - Παπαϊωάννου

2. Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ στο οποίο είναι $\displaystyle{AB=A\Delta, B\Gamma={\color{red}\Gamma}\Delta=\frac{\lambda}{2}}$ , $\displaystyle{A\Gamma=\lambda}$ και $\displaystyle{ B\Delta=\frac{\lambda\sqrt3}{2}}$ , όπου $\displaystyle{ \lambda }$ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έστω $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{Z }$ το σημείο τομής των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ . Να αποδειχθεί οτι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta B EZ }$ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού του περιγεγραμμένου κύκλου του τραπεζίου προς το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

Καλησπέρα.

: Φυσικό Φυσιογνωστικό Αθηνών 1962.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου $AB\Gamma\Delta$ τέμνονται κάθετα στο

επειδή τα τρίγωνα $AB\Delta, \Gamma B\Delta$ είναι ισοσκελή.

$\displaystyle{\eta \mu \omega = \frac{{{\rm H}\Delta }}{{\Gamma \Delta }} = \frac{{\frac{{\lambda \sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{\lambda }{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \omega = {60^0}}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{{\rm H}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }} \Leftrightarrow {\rm H}\Gamma = \frac{\lambda }{2}\sigma \upsilon \nu {60^0} \Leftrightarrow {\rm H}\Gamma = \frac{\lambda }{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm A}{\rm H} = \frac{{3\lambda }}{4}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi = \frac{{{\rm H}\Delta }}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{{\frac{{\lambda \sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{3\lambda }}{4}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \varphi = {30^0}}$

Άρα $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = {\rm A}\widehat \Delta \Gamma = {90^0}}$ και το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ισόπλευρο με πλευρά $\displaystyle{\alpha = \frac{{\lambda \sqrt 3 }}{2}}$ .

Ομοίως και το AEZ

είναι ισόπλευρο κι επειδή $\displaystyle{{\rm E}\Delta \bot {\rm A}{\rm Z},{\rm Z}{\rm B} \bot {\rm A}{\rm E}}$ , τα σημεία $B, \Delta$ είναι μέσα των πλευρών AE, AZ

αντίστοιχα. Επομένως το τετράπλευρο $\Delta BEZ$ είναι ισοσκελές τραπέζιο με την $EZ=\lambda\sqrt 3$ διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος έχει εμβαδόν $\boxed{{{\rm E}_\kappa } = \pi {\left( {\frac{{\lambda \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{3{\lambda ^2}\pi }}{4}}$

Το τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ έχει διαγώνιες κάθετες, άρα:

$\boxed{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta = \frac{{{\lambda ^2}\sqrt 3 }}{4}}$ .

Επομένως: $\boxed{\frac{{{{\rm E}_\kappa }}}{{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}} = \pi \sqrt 3 }$

ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1962

ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1962

Re: ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1962

Re: ΦΥΣΙΚΟ - ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1962

Μέλη σε σύνδεση