Γι αυτό το λόγο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5178
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γι αυτό το λόγο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Σάβ Απρ 08, 2017 12:25 pm

Γι αυτό το λόγο.png
Γι αυτό το λόγο.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

Έστω O το περίκεντρο και BD, CE τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC. Αν M είναι το μέσο του AD

και \displaystyle{CO \bot EM}, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{AE}{EB}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 849
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Γι αυτό το λόγο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 09, 2017 12:01 am

Έστω Z το σημείο τομής της CO με την ME.

Παίρνουμε σημείο K στην AB ώστε KM \perp AC.

Αφού BD \perp AC, είναι KM \parallel BD.

Όμως, M μέσο της AD, άρα KA=KB.

Είναι \widehat{KMA}=\widehat{KEC}=90^0, άρα KECM εγγράψιμο.

Είναι \widehat{OCA}=90-\widehat{B} (απλό).

Από το ορθογώνιο ZMC είναι \widehat{ZMC}=\widehat{B}.

Όμως, από το εγγράψιμο EKMC, \widehat{EKC}=\widehat{EMC}=\widehat{B}.

Εύκολα, το KCB είναι ισοσκελές, με CE ύψος, οπότε EK=EB.

Από την AK=KB έχουμε AE=AK+KE=KB+KE=2EB+EB=3EB \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{AE}{EB}=3}.

ORESTIS.png
ORESTIS.png (24.94 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές


edit: Έβαλα το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Απρ 09, 2017 8:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3626
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Γι αυτό το λόγο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 09, 2017 12:26 am

george visvikis έγραψε:Γι αυτό το λόγο.png
Έστω O το περίκεντρο και BD, CE τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC. Αν M είναι το μέσο του AD και \displaystyle{CO \bot EM}, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{AE}{EB}

καλή πρόοδος.png
καλή πρόοδος.png (32.54 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

Αν K,L είναι οι ορθές προβολές του O στις AC,AB αντίστοιχα (μέσα προφανώς των AC,AB από τα αποστήματα) , τότε με OC\bot EM

σύμφωνα με το
Stathis Koutras' Theorem θα ισχύει \dfrac{{EL}}{{KC}} = \dfrac{{AM}}{{AE}}\mathop  = \limits^{AD = 2AM} \dfrac{1}{2}\dfrac{{AD}}{{AE}}:\left( 1 \right).

Από το Θεώρημα των τεμνομένων χορδών EB,CD (στο σημείο A) του περικυκλίου \left( B,C,D,E \right) (διαμέτρου BC ) στο A θα είναι

AD \cdot AC = AE \cdot AB \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{EL}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{2AC}} \mathop  \Rightarrow \limits^{AC = 2KC} \dfrac{{EL}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{4KC}} \Rightarrow EL = \dfrac{{AB}}{4} = \dfrac{{BL}}{2} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AE}}{{EB}} = 3}

και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης