a,b,x,y

#1

Οι πραγματικοί αριθμοί a, b, x, y

ικανοποιούν τις σχέσεις

ax + by = 3,

Να υπολογίσετε το ax^5 + by^5.

harrisp · #2

Καλημέρα !

Έχουμε ax^2=7-by^2, by^2=7-ax^2

. Πολλαπλασιάσουμε κατάμεστη με x και y και παίρνουμε:

ax^3=7x-bxy^2, by^3=7y-ayx^2

. Προσθέτουμε αυτές κατα μελη και έχουμε:

ax^3+by^3=7(x+y)-xy(ax+by)

Εργαζόμενοι με παρόμοια τροπο παίρνουμε:

16(x+y)-7xy=42

.

Επιλύοντας το σύστημα που προκύπτει παίρνουμε εύκολα x+y=-14 και xy=-38.

Οποτε αρκεί να γράψουμε το ax^5+by^5

συναρτησει του x+y και xy.. Ακολουθώντας την προηγούμενη τεχνική έχουμε μετα απο πράξεις οτι ax^5+by^5=20

#3

#4

Και ακόμη ένας τρόπος:
Θεωρούμε T_n=ax^n+by^n

. Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της ακολουθίας είναι
(t-x)(t-y) = t^2 - (x+y)t + xy

.
Θεωρούμε A=x+y

και

, οπότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει τη μορφή,
t^2-At+B

, επομένως
$\displaystyle{ T_n = A T_{n-1} - B T_{n-2}, \qquad \forall n \ge 3. }$

Για n=3

, παίρνουμε $\displaystyle{ 7A-3B=16. }$
Για n=4

, παίρνουμε $\displaystyle{ 16A-7B=42. }$
Λύνοντας το σύστημα για τα A,B

, έχουμε

και

, οπότε
$\displaystyle{ ax^5 + by^5 =\boxed {20}.}$