Τριώνυμα

hlkampel · #1

Δίνονται τα τριώνυμα $y = \left( {\mu + 1} \right){x^2} - \left( {3\mu + 1} \right)x + 2\left( {\mu - 1} \right)$ με $\mu \in R - \left\{ { - 1} \right\}$ .

α) Να δείξετε ότι για κάθε $\mu \ne - 1$ η γραφική παράσταση του τριωνύμου έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με το άξονα x'x

.

β) Να δείξετε ότι για κάθε $\mu \ne - 1$ το τριώνυμο διέρχεται από δύο σταθερά σημεία τα οποία να προσδιοριστούν.

γ) Να βρεθεί ποιο ή ποια από τα παραπάνω τριώνυμα έχουν ως ακρότατο ένα από αυτά τα σταθερά σημεία.

Eukleidis · #2

α) $\displaystyle{D = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 8\left( {m + 1} \right)\left( {m - 1} \right) = 9{m^2} + 6m + 1 - 8{m^2} + 8 = {m^2} + 6m + 9 = {\left( {m + 3} \right)^2} \geqslant 0}$ από όπου προκύπτει ότι τέμνει τον άξονα x'x σε τουλάχιστον ένα σημείο για κάθε τιμή του m με $\displaystyle{m \ne - 1}$ .

β)Είναι $\displaystyle{y = \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + 2\left( {m - 1} \right) \Leftrightarrow m{x^2} + {x^2} - 3mx - x + 2m - 2 - y = 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)m + {x^2} - x - 2 - y = 0}$

Θεωρώντας το τριώνυμο ως προς m πρέπει:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ {x^2} - x - 2 - y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Για x=1, y=-2
Για x=2, y=0

Άρα τα σταθερά σημεία είναι τα $\displaystyle{A\left( {1, - 2} \right)}$ και $\displaystyle{B\left( {2,0} \right)}$

γ) Πρέπει:

$\displaystyle{ - 2 = - \tfrac{D}{{4\left( {m + 1} \right)}} \Leftrightarrow 8m + 8 = {m^2} + 6m + 9 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1}$ .
Για m=1, $\displaystyle{y = 2{x^2} - 4x}$ το οποίο λαμβάνει ελάχιστο για x=1 και συνεπως αποτελεί λύση του προβλήματος
$\displaystyle{0 = \tfrac{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}{{ - 4\left( {m + 1} \right)}} \Leftrightarrow m = - 3}$ . Αρα $\displaystyle{y = - 2{x^2} + 8x - 8}$ το οποίο λαμβάνει μέγιστη τιμή για x=2 και το οποίο αποτελεί επίσης λύση

Τριώνυμα

Τριώνυμα

Re: Τριώνυμα

Μέλη σε σύνδεση