Δύσκολη εξίσωση

KARKAR · #1

Να βρεθούν οι αριθμοί x , y

, για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=x+\frac{y}{4}$

#2

KARKAR έγραψε:Να βρεθούν οι αριθμοί , για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=x+\frac{y}{4}$

Για $x\geq 1$ και $y\geq 1$ η δοθείσα είναι ισοδύναμη με την

$(x-1)-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4} + (\dfrac{y-1}{4}-\sqrt{y-1}+1)=0$ ,

δηλ.

$(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{y-1}}{2}-1)^2=0$ ,

απ''οπου παίρνουμε $\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}$ και $\sqrt{y-1}=2$ .

Συνεπώς, $x=\dfrac{5}{4}$ και y=5

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

parmenides51 · #3

Λίγο διαφορετικά γραμμένη

θέτω $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt{x-1}=a\geq0& \\ \sqrt{y-1}=b\geq0& \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-1=a^2& \\ y-1=b^2& \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a^2+1& (1)\\ y=b^2+1& (2) \end{cases}}$

οπότε για $x\geq 1$ και $y\geq 1$ η δοσμένη λόγω των (1),(2) γίνεται

$\displaystyle a+b=a^2+1+\frac{b^2+1}{4}\Leftrightarrow 4a+4b=4a^2+4+b^2+1$
$\displaystyle \Leftrightarrow 4a^2-4a+1+b^2-4b-4=0 \Leftrightarrow (2a-1)^2+(b-2)^2=0$

οπότε $\displaystyle{\begin{cases} 2a-1=0& \\ b-2=0 \end{cases}$ ως μηδενικό άθροισμα μη αρνητικών όρων

συνεπώς $\displaystyle\begin{cases} a=\displaystyle\frac{1}{2}\geq0& \\ b=2\geq0& \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x-1}=a=\displaystyle\frac{1}{2}& \\ \sqrt{y-1}=b=2& \end{cases}}\Rightarrow \begin{cases} \sqrt{x-1}^2=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2& \\ \sqrt{y-1}^2=2^2& \end{cases}}$
$\displaystyle\Rightarrow \begin{cases} x-1=\displaystyle\frac{1}{4}& \\ y-1=4& \end{cases}}\Rightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{5}{4}\geq1& \\ y=5\geq1& \end{cases}}$ δεκτές

Δύσκολη εξίσωση

Δύσκολη εξίσωση

Re: Δύσκολη εξίσωση

Re: Δύσκολη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση