Βρείτε το S

KARKAR · #1

$\begin{cases} x+ \; y \; + \; z & = 1 \\ x^2+y^2+z^2& = 2 \\ x^3+y^3+z^3&= 3 \\ x^4+y^4+z^4& =S \end{cases}$

Βρείτε το

, χωρίς διαμαρτυρίες . Ειδάλλως αποδείξτε και την ταυτότητα :

(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)

!

Γιώργος Απόκης · #2

Κάτι παρόμοιο εδώ

dr.tasos · #3

Τετραγωνίζωντας την αρχική εχω $xy+yz+xz=\frac{-1}{2}$ Επίσης έχω
$x^3+y^3+z^3-3xyz=3-3xzy \Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-xy-yz)=3-3xyz \Leftrightarrow (2+\frac{1}{2}=3-3xyz \Leftrightarrow \frac{1}{6}=xyz$
όμως $S=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+x^2z^2+z^2y^2) \Leftrightarrow S=(x^2+y^2+z^2)^2-2[(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)] \Leftrightarrow S=4-2(\frac{1}{4}+\frac{1}{6} \Leftrightarrow S=4+\frac{1}{6}) \Leftrightarrow S=\frac{25}{6}$

parmenides51 · #4

μια άλλη ιδέα χρησιμοποιώντας την ταυτότητα όπως έγινε κι εδώ

kanenas · #5

Αν $x^4+y^4+z^4= \frac{25}{6}$ , μήπως τα x, y, z δεν είναι πραγματικοί;

x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)

$\frac{25}{6}=4-2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2) \Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=-\frac{1}{12}$

KARKAR · #6

Πράγματι οι x, y , z

δεν μπορούν να είναι όλοι πραγματικοί , αλλά η άσκηση δεν ζητά να τους βρούμε ..

Θα υπήρχε , βέβαια , πρόβλημα αν οι αριθμοί ήσαν ανύπαρκτοι . Ευτυχώς υπάρχουν αρκετοί ,

αν και "τερατόμορφοι" αριθμοί που επαληθεύουν τις τρεις - επομένως και την τέταρτη - σχέσεις !

kanenas · #7

Oops έχει δίκαιο.

Μπερδεύτηκα με αυτήν που έλεγε να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών

Επί τη ευκαιρία να βάλω και μια λίγο διαφορετική προσέγγιση

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=1\cdot 2\Leftrightarrow$

$x^3+y^3+z^3+xy^2+xz^2+x^2y+yz^2+x^2z+y^2z=2\Leftrightarrow$

$3+xy^2+xz^2+x^2y+yz^2+x^2z+y^2z=2\Leftrightarrow$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη x, y ,z και παίρνουμε τις εξής 3 σχέσεις:

x^2y^2+x^2z^2+x^3y+xyz^2+x^3z+xy^2z=-x

Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:

$2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)+x^3y+x^3z+2x^2yz+xy^3+y^3z+2xy^2z+xz^3+yz^3+2xyz^2=-(x+y+z)\Leftrightarrow$

$2t-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)+xyz(x+y+z)=-1\Leftrightarrow$

2t+xyz=0

, όπου

$(xy+yz+xz)^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow t+2xyz(x+y+z)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow t-4t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow t=-\frac{1}{12}$

Και τώρα όπως στο προηγούμενο ποστ

$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)=4-2\cdot(-\frac{1}{12})=\frac{25}{6}$

vasilis.volos.13 · #8

Αν και μη γραμμικό το σύστημα με την παραπάνω ταυτότητα όπως ανέφερε και parmenides στο link λύνουμε το σύστημα με τις 3 πρώτες εξισώσεις και αντικαθιστούμε στην 4η εξίσωση που δίνει και το ζητούμενο αποτέλεσμα

Βρείτε το S

Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Re: Βρείτε το S

Μέλη σε σύνδεση