Ισοι κύκλοι - Ομοκυκλικά

#1

Με χορδές τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ γράφουμε δύο ίσους κύκλους $\displaystyle{ \left( {{\rm O},R} \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {{\rm K},R} \right) }$

Αν Ε είναι το δεύτερο σημείο τομής τους να δείξετε ότι:

i) Οι κύκλοι που είναι περιγεγραμμένοι στα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΓΕ έχουν ακτίνα R.

ii) Τα σημεία Ο, Κ, Λ και Μ ανήκουν στον ίδιο κύκλο με κέντρο Ε και ακτίνα ίση με R

Στάθης Κούτρας

hsiodos · #2

Στάθη έχεις δώσει ταυτόχρονα και την λύση (στο σχήμα)

Γιώργος

hsiodos · #3

Γράφω την λύση , η οποία φαίνεται και στο σχήμα που μας έχει δώσει ο Στάθης.

Έστω $\displaystyle{C_1 ,C_2 }$ οι κύκλοι (Ο , R) , (K , R) και $\displaystyle{C_3 ,C_4 }$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΔΕ , ΔΓΕ με κέντρα Λ , Μ αντίστοιχα.

(i) Από το Ε φέρνουμε παράλληλη προς την ΓΒ που τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{C_1 }$ στο Ζ . Οι κύκλοι $\displaystyle{ C_1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C_2 }$ είναι ίσοι οπότε $\displaystyle{\mathop {\Gamma _1 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm Z}_1 }\limits^ \wedge }$ και έτσι παίρνουμε ότι το ΕΓΒΖ είναι παραλληλόγραμμο . Κατά συνέπεια και το ΑΖΕΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΖΕ είναι ίσα οπότε και οι περιγεγραμμένοι τους κύκλοι $\displaystyle{C_3 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C_1 }$ είναι ίσοι.

Επίσης τα τρίγωνα ΔΕΓ και ΑΒΖ είναι ίσα οπότε και οι περιγεγραμμένοι τους κύκλοι $\displaystyle{C_4 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C_1 }$ είναι ίσοι.

(ii) Τώρα έχουμε EM = EΛ = ΕΟ = ΕΚ = R δηλαδή τα σημεία Μ , Λ , Ο , Κ ανήκουν στον κύκλο (Ε , R) .

: ίσοι κύκλοι-Στάθης.png (91.12 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Γιώργος

Ισοι κύκλοι - Ομοκυκλικά

Ισοι κύκλοι - Ομοκυκλικά

Re: Ισοι κύκλοι - Ομοκυκλικά

Re: Ισοι κύκλοι - Ομοκυκλικά

Μέλη σε σύνδεση