Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

thanasis kopadis · #1

Δίνεται το σύστημα (Σ1) $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} mx+\psi =1\\ x+(2m-1)\psi =m \end{matrix}\right.}}$ με ορίζουσες D,D_x

και $D_{\psi}$ .

α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1)

β) Αν $(x_0,\psi_0)$ η μοναδική λύση του συστήματος (Σ1), να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=2\psi_0-x_0$

γ) Έστω, επιπλέον, το γραμμικό σύστημα (Σ2) με δύο αγνώστους $x,\psi$ και ορίζουσες $D',D_x',D_\psi'$ για τις οποίες ισχύουν:
$\displaystyle{\begin{vmatrix} D_x' &D' \\ D' &D_\psi' \end{vmatrix}=0}$ και $\displaystyle{\begin{vmatrix} D_x' &-A \\ D_\psi' &A\\ \end{vmatrix}=2D'}$ , όπου

η τιμή της παράστασης του ερωτήματος β). Αν το σύστημα (Σ2) έχει μοναδική λύση,
να βρείτε τη λύση αυτή.

δ) Για m=1

i) Να βρείτε τις λύσεις $(x,\psi)$ του συστήματος (Σ1) για τις οποίες ισχύει $x^2+2\psi^2=1$

ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ3)
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} mx+2\psi-3z=-1 \\ 2x-m\psi+4z=-2\\ -3x+4\psi-(m+4)z=15 \end{matrix}\right.}}$

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

α) Είναι,

$\displaystyle{D=\begin{vmatrix} m\,\,\,& 1\\ 1\,&2\,m-1 \end{vmatrix}=m\,\left(2\,m-1\right)-1=2\,m^2-m-1=\left(m-1\right)\left(2\,m+1\right)}$

$\displaystyle{D_{x}=\begin{vmatrix} 1\,\,\,& 1\\ m\,&2\,m-1 \end{vmatrix}=2\,m-1-m=m-1}$

$\displaystyle{D_{\psi}=\begin{vmatrix} m\,\,\,& 1\\ 1\,& m \end{vmatrix}=m^2-1=\left(m-1\right)\left(m+1\right)}$

Αν $\displaystyle{D\neq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2},1\right\}}$ , τότε το σύστημα έχει ως

μοναδική λύση την $\displaystyle{\left(x,\psi\right)=\left(\frac{D_{x}}{D},\frac{D_{\psi}}{D}\right)=\left(\frac{1}{2\,m+1},\frac{m+1}{2\,m+1}\right)}$

Αν τώρα $\displaystyle{m=-\frac{1}{2}}$ , το σύστημα γράφεται $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-2\,\psi=-2\\ x-2\,\psi=-\frac{1}{2} \end{matrix}}$

και είναι προφανώς αδύνατο.

Αν $\displaystyle{m=1}$ , το σύστημα παίρνει τη μορφή $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+\,\psi=1\\ x+\,\psi=1 \end{matrix}}$

και έχει ως λύσεις τα σημεία $\displaystyle{\left(x,1-x\right)\,,x\in\mathbb{R}}$

β) Είμαστε στην περίπτωση όπου $\displaystyle{m\in\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2},1\right\}}$ και άρα

$\displaystyle{\displaystyle{\left(x_0,\psi_0\right)=\left(\frac{1}{2\,m+1},\frac{m+1}{2\,m+1}\right)}$ .

Έτσι,

$\displaystyle{A=2\,\psi_0-x_0=\frac{2\,m+2}{2\,m+1}-\frac{1}{2\,m+1}=\frac{2\,m+1}{2\,m+1}=1}$

γ) Από τα δεδομένα προκύπτει

$\displaystyle{\begin{vmatrix} D_{x}' & D'\\ D' & D_{\psi}'\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow D_{x}'\cdot D_{\psi}'=(D')^2}$

$\displaystyle{\begin{vmatrix} D_{x}' & -1\\ D_{\psi}' & 1 \end{vmatrix}=2\,D'\Leftrightarrow D_{x}'+D_{\psi}'=2\,D'}$

Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε $\displaystyle{D'\neq 0}$ και οι παραπάνω σχέσεις ισοδύναμα γράφονται

$\displaystyle{\frac{D_{x}'}{D'}=\frac{D'}{D_{\psi}'}\,\,\kappa \alpha \iota\,\, \frac{D_{x}'}{D'}+\frac{D_{\psi}'}{D'}=2\,\,(I)}$

Μπορούμε να διαιρέσουμε με τον παράγοντα $\displaystyle{D_{\psi}'}$ διότι $\displaystyle{(D')^2\neq 0\Rightarrow D_{x}'\cdot D_{\psi}'\neq 0\Rightarrow D_{x}'\neq 0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,D_{\psi}'\neq 0}$

Αν $\displaystyle{\left(x_1,\psi_1\right)\,,x_1\,,\psi_1\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$ η μοναδική λύση του συστήματος αυτού,

τότε από τις σχέσεις $\displaystyle{(I)}$ προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις

$\displaystyle{x_1=\frac{1}{\psi_1}\,\, \kappa \alpha \iota\,\, x_1+\psi_1=2}$

Η δεύτερη σχέση, με τη βοήθεια της πρώτης, γράφεται

$\displaystyle{\frac{1}{\psi_1}+\psi_1=2\Rightarrow 1+\psi_1^2=2\,\psi_1\Rightarrow \psi_1^2-2\,\psi_1+1=0\Rightarrow \left(\psi_1-1\right)^2=0\Rightarrow \psi_1=1}$ .

Επομένως, $\displaystyle{\left(x_1,\psi_1\right)=\left(1,1\right)}$

δi) Για $\displaystyle{m=1}$ , οι λύσεις του πρώτου συστήματος είναι της μορφής $\displaystyle{\left(x,\psi\right)=\left(x,1-x\right)\,,x\in\mathbb{R}$ .

Επί πλέον, ικανοποιούν και την συνθήκη $\displaystyle{x^2+2\,\psi^2=1}$ , οπότε

$\displaystyle{x^2+2\left(1-x\right)^2=1\Leftrightarrow 3\,x^2-4\,x+1=0\Leftrightarrow \left(3\,x-1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\,\lor\,x=1}$

Οι ζητούμενες λύσεις είναι οι $\displaystyle{\left(x,\psi\right)\in\left\{\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),\left(1,0\right)\right\}$

Ουσιαστικά, προσδιορίσαμε πλήρως τα κοινά σημεία της ευθείας $\displaystyle{x+\psi=1}$ και της έλλειψης $\displaystyle{x^2+2\,\psi^2=1}$ .

Και μια γεωμετρική παρατήρηση για να μην έχουμε μόνο άλγεβρα.

δii) Το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+2\,\psi-3\,z=-1\\ 2\,x-\psi+4\,z=-2\\ -3\,x+4\,\psi-5\,z=15 \end{matrix}}$

Έστω $\displaystyle{\left(x,\psi,z\right)=\left(t_1,t_2,t_3\right)\,,t_i\in\mathbb{R}\,,i\in\left\{1,2,3\right\}}$ λύση του συστήματος .

Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} t_1+2\,t_2-3\,t_3=-1\\ 2\,t_1-t_2+4\,t_3=-2\\ -3\,t_1+4\,t_2-5\,t_3=15 \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1+2\,t_2-3\,t_3=-1\\ 4\,t_1-2\,t_2+8\,t_3=-4\\ -3\,t_1+4\,t_2-5\,t_3=15 \end{matrix}}$

Αθροίζοντας τις τελευταίες σχέσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε

$\displaystyle{2\,t_1+4\,t_2=10\Leftrightarrow t_1+2\,t_2=5}$

Έτσι, η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται $\displaystyle{5-3\,t_3=-1\Leftrightarrow 3\,t_3=6\Leftrightarrow t_3=2}$

Για $\displaystyle{t_3=2}$ παίρνουμε $\displaystyle{t_1+2\,t_2=5\,\,\kappa \alpha \iota\,\,2\,t_1-t_2=-10}$ , οπότε

$\displaystyle{2\,t_1-t_2=-10\Rightarrow 2\left(5-2\,t_2\right)-t_2=-10\Rightarrow -5\,t_2=-20\Rightarrow t_2=4\Rightarrow t_1=-3}$ .

Παρατηρούμε ότι η τριάδα $\displaystyle{\left(x,\psi,z\right)=\left(-3,4,2\right)}$ ικανοποιεί το σύστημα

και άρα είναι η μοναδική λύση αυτού.

thanasis kopadis · #3

BAGGP93 έγραψε:
Ουσιαστικά, προσδιορίσαμε πλήρως τα κοινά σημεία της ευθείας $\displaystyle{x+\psi=1}$ και της έλλειψης $\displaystyle{x^2+2\,\psi^2=1}$ .

Και μια γεωμετρική παρατήρηση για να μην έχουμε μόνο άλγεβρα.

Kαλησπέρα.
Πολύ ωραία παρατήρηση!
Ευχαριστώ για την αναλυτικότατη λύση.

Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

Re: Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

Re: Eπαναλητικό θέμα στα συστήματα

Μέλη σε σύνδεση