Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

sorfan · #1

Να βρείτε τις γωνίες θ, με $0\leq \theta \leq 2\pi$ , έτσι, ώστε:
$\log \left(-3\eta \mu \theta \right)=2\log \left(\sigma \upsilon \nu \theta \right)+\log 2$ .

Για μαθητές έως 10 Ιανουαρίου.

stavros11 · #2

Αν και δεν είμαι σίγουρος, θα βάλω μία προσπάθεια (που δεν βγάζει λύσεις...):

Αρχικά να πάρουμε τους περιορισμούς ώστε ότι υπάρχει μέσα σε $\log$ να είναι θετικό και φυσικά να ισχύει $\theta \in [0,2\pi]$ :
$\displaystyle{\eta \mu \theta <0\Rightarrow \theta \in (\pi,2\pi)}$
και
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta >0\Rightarrow \theta \in (0,\frac{\pi}{2})\cup (\frac{3\pi}{2},2\pi)}$

Άρα $\displaystyle{\theta \in(\frac{3\pi}{2},2\pi)}$

$\displaystyle{\log (-3\eta \mu \theta )=2\log(\sigma \upsilon \nu \theta )+\log2\Rightarrow \log (-3\eta \mu \theta )-\log(\sigma \upsilon \nu^2 \theta)=\log2\Rightarrow \log(\frac{-3\eta \mu \theta}{1-\eta \mu^2 \theta})=\log2}$

Άρα πρέπει:
$\displaystyle{\frac{3\eta \mu \theta}{1-\eta \mu^2 \theta}=-2\Rightarrow 3\eta \mu \theta=2\eta \mu^2 \theta-2\Rightarrow 2\eta \mu^2 \theta-3\eta \mu \theta-2=0}$

$\Delta =9+16=25$

και έχει λύσεις:
$\eta \mu \theta=2$ , που είναι αδύνατο, αφού $\eta \mu \theta\in [-1,1]$
ή
$\displaystyle{\eta \mu \theta=-\frac{1}{2}}$ , άρα $\displaystyle{\theta =2k\pi-\frac{\pi}{6}}$ ή $\displaystyle{\theta =2k\pi+\frac{7\pi}{6}}$ .

Όμως αφού $\theta \in [0,2\pi]$ , τότε στην πρώτη λύση k=1

, άρα $\displaystyle{\theta =\frac{11\pi}{6}}$ (δεκτή), ενώ στην 2η k=0

, άρα $\displaystyle{\theta =\frac{7\pi}{6}}$ που απορρίπτεται.

(Είχα κάνει λάθος στην αρχική, ευχαριστώ τον Χρήστο (chris) για την επισήμανση)

sorfan · #3

stavros11 έγραψε:Αν και δεν είμαι σίγουρος, θα βάλω μία προσπάθεια (που δεν βγάζει λύσεις...):

Αρχικά να πάρουμε τους περιορισμούς ώστε ότι υπάρχει μέσα σε $\log$ να είναι θετικό και φυσικά να ισχύει $\theta \in [0,2\pi]$ :
$\displaystyle{\eta \mu \theta <0\Rightarrow \theta \in (\pi,2\pi)}$
και
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta >0\Rightarrow \theta \in (0,\frac{\pi}{2})\cup (\frac{3\pi}{2},2\pi)}$

Άρα $\displaystyle{\theta \in(\frac{3\pi}{2},2\pi)}$

$\displaystyle{\log (-3\eta \mu \theta )=2\log(\sigma \upsilon \nu \theta )+\log2\Rightarrow \log (-3\eta \mu \theta )-\log(\sigma \upsilon \nu^2 \theta)=\log2\Rightarrow \log(\frac{-3\eta \mu \theta}{1-\eta \mu^2 \theta})=\log2}$

Άρα πρέπει:
$\displaystyle{\frac{3\eta \mu \theta}{1-\eta \mu^2 \theta}=-2\Rightarrow 3\eta \mu \theta=2\eta \mu^2 \theta-2\Rightarrow 2\eta \mu^2 \theta-3\eta \mu \theta-2=0}$

$\Delta =9+16=25$

και έχει λύσεις:
$\eta \mu \theta=2$ , που είναι αδύνατο, αφού $\eta \mu \theta\in [-1,1]$
ή
$\displaystyle{\eta \mu \theta=-\frac{1}{2}}$ , άρα $\displaystyle{\theta =2k\pi-\frac{\pi}{6}}$ ή $\displaystyle{\theta =2k\pi+\frac{7\pi}{6}}$ .

Όμως αφού $\theta \in [0,2\pi]$ , τότε στην πρώτη λύση , άρα $\displaystyle{\theta =\frac{11\pi}{6}}$ (δεκτή), ενώ στην 2η , άρα $\displaystyle{\theta =\frac{7\pi}{6}}$ που απορρίπτεται.

(Είχα κάνει λάθος στην αρχική, ευχαριστώ τον Χρήστο (chris) για την επισήμανση)

Μια παρατήρηση μόνο. Επειδή $\theta \in \left(\frac{3\pi }{2} ,2\pi \right)$ δεχόμαστε την $\theta =\frac{11\pi }{6}$ και απορρίπτουμε την $\theta =\frac{7\pi }{6}$

stavros11 · #4

sorfan έγραψε:
Μια παρατήρηση μόνο. Επειδή $\theta \in \left(\frac{3\pi }{2} ,2\pi \right)$ δεχόμαστε την $\theta =\frac{11\pi }{6}$ και απορρίπτουμε την $\theta =\frac{7\pi }{6}$

Ναι, απλώς στην αρχική λύση που είχα βάλει είχα θεωρήσει λανθασμένα k=0

και στις δύο λύσεις και έτσι από την πρώτη αντί το $\displaystyle{\theta =\frac{11\pi}{6}}$ που είναι δεκτό, προέκυπτε $\displaystyle{\theta =-\frac{\pi}{6}}$ που απορρίπτεται.

Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

Re: Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

Re: Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

Re: Λογαριθμικη με τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση