Μονοτονία συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται η συνάρτηση
$\displaystyle{ f:\Re \to \Re }$ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση
$\displaystyle{ g(x) = f(x) + e^{ - x} }$ , $\displaystyle{ x \in \Re }$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{ g }$ είναι γνησίως μονότονη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
β) Να λυθεί η ανίσωση: $\displaystyle{ f(\ln x) - f(1) < \frac{1}{e} - \frac{1}{x} }$ , $\displaystyle{ x > 0 }$

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε μια τέτοια άσκηση να την βάλουμε στις εξετάσεις του Μαίου στο μάθημα της Άλγεβρας της Β λυκείου;

Eukleidis · #2

Έστω $\displaystyle{x < y}$ με $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ . Τότε
$\displaystyle{f\left( x \right) > f\left( y \right)}$ αφού f γνησίως φθίνουσα.
$\displaystyle{x < y \Rightarrow - x > - y \Rightarrow {e^{ - x}} > {e^{ - y}}}$
Με πρόσθεση κατα μέλη παίρνουμε
$\displaystyle{f\left( x \right) + {e^{ - x}} > f\left( y \right) + {e^{ - y}} \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( y \right)}$ Αρα η g είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα γνήσιως φθίνουσα.

$\displaystyle{f\left( {\ln x} \right) - f\left( 1 \right) < \tfrac{1}{e} - \tfrac{1}{x} \Leftrightarrow f\left( {\ln x} \right) + \tfrac{1}{x} < f\left( 1 \right) + \tfrac{1}{e} \Leftrightarrow g\left( {\ln x} \right) < g\left( 1 \right)}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \ln x > 1 \Leftrightarrow x > e}$ αφού η g γνησίως φθίνουσα

parmenides51 · #3

Προσωπικά δεν επιμένω σε ασκήσεις με μονοτονία στην Β' Άλγεβρα και δεν θα έβαζα ποτέ άσκηση σαν την συγκεκριμένη.
Καλύτερα να εμβαθύνουν σε εξισώσεις - ανισώσεις με γινόμενα πηλίκα εκθετικών και λογαριθμικών.
Για την Γ΄ Λυκείου είναι μια χαρά άσκηση.

Μονοτονία συνάρτησης

Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση