Όλα αυτά μαζί ;

KARKAR · #1

Αν :

, δείξτε ότι το πολυώνυμο : $P(x)= ax^{3}+bx^{2}-bx-a$ , έχει τρείς , διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες ,

από τις οποίες δύο είναι αρνητικές , και επίσης ότι οι τρείς αυτές ρίζες , αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου .

Eukleidis · #2

$\displaystyle{P\left( x \right) = a\left( {{x^3} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {a{x^2} + \left( {a + b} \right)x + a} \right)}$ . Αρα μια λύση είναι η χ=1.

Η διακρίνουσα της δευτερης παρένθεσης ειναι: $\displaystyle{\Delta = {\left( {a + b} \right)^2} - 4{a^2} = \left( {a + b + 2a} \right)\left( {a + b - 2a} \right) = \left( {3a + b} \right)\left( {b - a} \right) > 0}$ αφου β>α>0. Αρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Για το αθροισμα και το γινομενο τους αντίστοιχα ισχύει:

$\displaystyle{S = - \tfrac{{a + b}}{a} < 0}$ και $\displaystyle{P = \tfrac{a}{a} = 1}$ . Αρα είναι ομόσημες και αρνητικές. Αρα έχουμε δύο αρνητικες και μια θετική.

Μαλιστα ισχύει πως το γινόμενο τους κάνει 1 που ισούται με το τετράγωνο της τρίτης. Συνεπως αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Όλα αυτά μαζί ;

Όλα αυτά μαζί ;

Re: Όλα αυτά μαζί ;

Μέλη σε σύνδεση