Συνθήκη για ορθή

Γιώργος Απόκης · #1

Σε ένα τρίγωνο ABC

οι γωνίες $\hat{A},\hat{B}$ είναι οξείες. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: $\sin^2A+\sin^2B=\sin(A+B) \Leftrightarrow \hat{C}=90^{o}.$

#2

George73 έγραψε:Σε ένα τρίγωνο οι γωνίες $\hat{A},\hat{B}$ είναι οξείες. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: $\sin^2A+\sin^2B=\sin(A+B) \Leftrightarrow \hat{C}=90^{o}.$

( $\displaystyle{\Leftarrow }$ )

Αν $\displaystyle{C=90^0}$ είναι $\displaystyle{A+B=90^0}$ , οπότε $\displaystyle{\cos A=\sin B}$ και επομένως

$\displaystyle{\sin (A+B)=\sin C=1=\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=\sin ^2 A+\sin ^2B.}$

( $\displaystyle{\Rightarrow}$ )

Το αντίστροφο, ομολογώ, με προβλημάτισε. Για να το βάζει ο Γιώργος σε αυτόν το φάκελο θα υπάρχει σίγουρα απλή αντιμετώπιση, την οποία δυστυχώς δεν κατάφερα να δω

.
Βάζω μια, μάλλον μη ενδεδειγμένη απόδειξη.

Καταρχάς, παρατηρώ ότι η γωνία $\displaystyle{C}$ είναι μη αμβλεία. Πράγματι, είναι, λόγω του νόμου των ημιτόνων, $\displaystyle{a^2+b^2=2Rc\geq c^2}$ . Άρα $\displaystyle{\cos C\geq 0.}$

Ας θυμηθούμε τώρα, ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

$\displaystyle{\cos ^2A+\cos ^2B+\cos ^2C+2\cos A\cos B\cos C=1,}$ οπότε και

$\displaystyle{\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=2+2\cos A\cos B\cos C}$ .

Τότε, είναι

$\displaystyle{2\geq \sin C+\sin ^2C=\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=2+2\cos A\cos B\cos C\geq 2,}$ αφού οι $\displaystyle{A,B}$ είναι οξείες.

Άρα ισχύει παντού η ισότητα, δηλαδή $\displaystyle{\sin C=1}$ και $\displaystyle{\cos C=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{C=90^0.}$

Γιώργο, ποιά είναι η λύση σου;

Γιώργος Απόκης · #3

Καλησπέρα. Η αλήθεια είναι ότι και η δική μου λύση δε μου αρέσει πολύ αλλά από πλευράς ύλης είναι εντάξει γι' αυτό το φάκελο.

(Για το $\Rightarrow$ )

Έχουμε $\sin^2 A+\sin^2 B=\sin(A+B)\Leftrightarrow \sin^2 A+\sin^2 B=\sin A \cos B +\cos A \sin B \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \sin A(\sin A-\cos B)=\sin B(\cos A-\sin B)$ (1). Aφού οι γωνίες είναι οξείες τα $\sin A,\sin B$ είναι θετικά, άρα

από την (1) έχουμε ότι οι παρενθέσεις θα είναι ομόσημες ή θα μηδενίζονται συγχρόνως .

Έστω ότι είναι θετικές, τότε $\sin A>\cos B$ και $\cos A>\sin B$ . Oι τελευταίες έχουν θετικά μέλη, άρα υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας

έχουμε $\sin^2A+\cos^2A>\cos^2B+\sin^2B\Leftrightarrow 1>1$ (άτοπο). Ομοίως αποκλείεται και η περίπτωση να είναι αρνητικές. Άρα, μηδενίζονται συγχρόνως.

Έτσι, $\sin A=\cos B$ και $\cos A=\sin B$ από όπου προκύπτει ότι οι γωνίες είναι συμπληρωματικές, άρα "περισσεύουν" $90^{o}$ για τη $\hat{C}$ .

kostas136 · #4

Μια εναλλακτική, ελπίζω, προσέγγιση. Όπως παρατήρησε ο Θάνος, από τον νόμο ημιτόνων, η συνθήκη γράφεται:

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=2Rc\Rightarrow 2a^{2}+2b^{2}=4Rc\Rightarrow 4m_{c}^{2}+c^{2}=4Rc\Rightarrow (c-2R)^{2}=4(R-m_{c})(R+m_{c})$

Αλλά, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι σε $\triangle ABC$ με $\hat A, \hat B <90^{0}$ θα ισχύει $R<m_{c}$ αν $\hat C\neq 90^{0}.$ (αν

το περίκεντρο και

το μέσο της

τότε $C\hat O M > 90^{0}.$ Άρα, λόγω του μη αρνητικού πρώτου μέλους πρέπει $\displaystyle R=m_{c} , c=2R$ που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Edit: Νομίζω ότι ο ισχυρισμός μου $R<m_{c}$ χωλαίνει τελικά.

kostas136 · #5

Έχω δεί και μια παρόμοια αλλά πολύ ευκολότερη, κατάλληλη και για μαθητές Γ Γυμνασίου που γνωρίζουν το νόμο ημιτόνων.

Αν ισχύει $\displaystyle sin^{2}\hat A+sin^{2}\hat B=sin^{2}\hat C$ τότε να αποδείξετε ότι το $\triangle ABC$ είναι ορθογώνιο.

Μήπως έχει κανείς κάποια άλλη ιδέα για την αρχική άσκηση;

Συνθήκη για ορθή

Συνθήκη για ορθή

Re: Συνθήκη για ορθή

Re: Συνθήκη για ορθή

Re: Συνθήκη για ορθή

Re: Συνθήκη για ορθή

Μέλη σε σύνδεση