Ένα πολυώνυμο

#1

Βρείτε όλα τα πολυώνυμα

που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{ p(a+b-2c)+p(b+c-2a)+p(c+a-2b) = 3p(a-b)+3p(b-c)+3p(c-a) .}$

#2

socrates έγραψε:Βρείτε όλα τα πολυώνυμα που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{ p(a+b-2c)+p(b+c-2a)+p(c+a-2b) = 3p(a-b)+3p(b-c)+3p(c-a) .}$

$\displaystyle{p(a+b-2c)+p(b+c-2a)+p(c+a-2b) = 3p(a-b)+3p(b-c)+3p(c-a)}$ ( $\displaystyle{\color{red}\dagger}$ )

Ξεκινάμε με την παρατήρηση, ότι το μόνο σταθερό πολυώνυμο που ικανοποιεί τη δοθείσα είναι φανερά το μηδενικό πολυώνυμο.

Αναζητούμε, τώρα, άλλα πολυώνυμα θετικού βαθμού.

Καταρχάς, από την ( $\displaystyle{\color{red}\dagger}$ ) για $\displaystyle{a=b=c=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{P(0)=0.}$

Θέτουμε στην ( $\displaystyle{\color{red}\dagger}$ ) $\displaystyle{b=c=0,}$ οπότε βρίσκουμε

$\displaystyle{P(-a)+3P(a)=P(-2a)}$ για κάθε $\displaystyle{a\in \mathbb{R}.}$ (1)

Ας είναι $\displaystyle{P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x.}$

Συγκρίνοντας στην (1) τους συντελεστές του μεγιστοβάθμιου όρου, προκύπτει $\displaystyle{3+(-1)^n=2^n.}$

Από εδώ είναι προφανές ότι $\displaystyle{n=1}$ ή $\displaystyle{n=2,}$ οπότε επειδή είναι $\displaystyle{P(0)=0,}$ τσεκάρουμε τα πολυώνυμα της μορφής $\displaystyle{P(x)=kx}$ και $\displaystyle{P(x)=kx^2+mx}$ . Είναι ένα απλό θέμα πράξεων να διαπιστώσουμε, ότι και τα δύο ικανοποιούν την αρχική.

Συμπέρασμα: Τα ζητούμενα πολυώνυμα είναι όλα της μορφής $\displaystyle{P(x)=kx^2+mx,}$ με $\displaystyle{k,m\in \mathbb{R}.}$

Ένα πολυώνυμο

Ένα πολυώνυμο

Re: Ένα πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση