Λογαριθμική - Εκθετική

hlkampel · #1

Δίνεται η παράσταση $A = \ln \left( {{x^2} - 6x + 9} \right)$ .

α) Να βρεθούν οι τιμές του $x \in R$ ώστε να ορίζεται η

.

β) Να λυθεί η εξίσωση $A = 4{\ln ^2}\left| {x - 3} \right|$ .

γ) Να βρεθούν οι τιμές του $x \in R$ ώστε $\displystyle{\left( {\frac{1}{9}} \right)^{\displystyle\frac{1}{4}\left( {{A^2} - A \cdot \ln 4} \right)}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}\left( {A\ln 9 - 4\ln 3 \cdot \ln 2} \right)}}$

#2

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν:
$\displaystyle{x^2-6x+9>0 \Leftrightarrow (x-3)^2>0 \Leftrightarrow x \neq 3}$ .

β) Για $\displaystyle{x \neq 3}$ έχουμε ότι:
$\displaystyle{ln|x-3|^2=4ln^2|x-3| \Leftrightarrow 2ln|x-3|-4ln^2|x-3|=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2ln|x-3|(1-2ln|x-3|)=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow ln|x-3|=0}$ ή $\displaystyle{ln|x-3|=\frac{1}{2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow |x-3|=1}$ ή $\displaystyle{|x-3|=e^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x-3=\pm1}$ ή $\displaystyle{x-3=\pm \sqrt{e} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x = -2}$ ή $\displaystyle{x=4}$ ή $\displaystyle{x=3+\sqrt{e}}$ ή $\displaystyle{x=3-\sqrt{e}}$ , που είναι όλες δεκτές.

γ) Για $\displaystyle{x \neq 3}$ έχουμε ότι:
$\displaystyle{ \left( {\frac{1}{9}} \right)^{\displystyle\frac{1}{4}\left( {{A^2} - A \cdot \ln 4} \right)}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}\left( {A\ln 9 - 4\ln 3 \cdot \ln 2} \right)} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}} \right)^{\displystyle\frac{1}{2}\left( {{A^2} - A \cdot \ln 4} \right)}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}\left( {A\ln 9 - 4\ln 3 \cdot \ln 2} \right)} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{A^2} - A \cdot \ln 4} \right)} > \frac{1}{2}\left( {A\ln 9 - 4\ln 3 \cdot \ln 2} \right) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A^2 - A \cdot \ln 4 > A\ln 9 - 4\ln 3 \cdot \ln 2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A^2 - A \cdot \ln 4 - A\ln 9 + 4\ln 3 \cdot \ln 2>0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A^2 - A \cdot \ln 36 + 4\ln 3 \cdot \ln 2>0 \Leftrightarrow A^2 - 2A \cdot \ln6 + 4\ln 3 \cdot \ln 2>0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A^2 - 2A \cdot (\ln2 + ln3) + 4\ln 3 \cdot \ln 2>0 (I)}$ .

H $\displaystyle{ A^2 - 2A \cdot (\ln2 + ln3) + 4\ln 3 \cdot \ln 2 =0 (II)}$ είναι εξίσωση 2ου βαθμού ως προς Α με διακρίνουσα
$\displaystyle{\Delta=4(ln2+ln3)^2-16ln2ln3=(ln3-ln2)^2>0}$ ,

οπότε:
$\displaystyle{(II) \Leftrightarrow A=\frac{2(ln2+ln3) \pm 2(ln3-ln2)}{2}=ln2+ln3 \pm (ln3-ln2) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A=2ln2}$ ή $\displaystyle{A=2ln3}$ .

Τότε:

$\displaystyle{(I) \Leftrightarrow (A-2ln2)(A-2ln3)>0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A<2ln2}$ ή $\displaystyle{A>2ln3 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow ln|x-3|<2ln2}$ ή $\displaystyle{ln|x-3|>2ln3 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow |x-3|<4}$ ή $\displaystyle{|x-3|>9 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -4<x-3< 4}$ ή $\displaystyle{x-3<-9}$ ή $\displaystyle{x-3> 9 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -1<x< 7}$ ή $\displaystyle{x<-6}$ ή $\displaystyle{x> 12 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x \in (-\infty,-6) \cup (-1,3) \cup (3,7) \cup (12, +\infty)}$ .

hlkampel · #3

Λευτέρη, ευχαριστώ για την ενασχόληση και μπράβο για την υπομονή σου.

Λογαριθμική - Εκθετική

Λογαριθμική - Εκθετική

Re: Λογαριθμική - Εκθετική

Re: Λογαριθμική - Εκθετική

Μέλη σε σύνδεση