Εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση

$\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2}+\ lnx$

irakleios · #2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση

$\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2}+\ lnx$

Προκύπτει ότι $0< x \leq1$ .

Για x = 1

ισχύει . Άρα μια λύση .

Για 0<x<1

προκύπτει

ενώ $\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x} - \sqrt{2} > 0$ Διότι αν θέσουμε x-1=a , x+1=b

Ισχύει $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b} .$

Άρα μοναδική λύση x = 1

freyia · #3

'Εχω

. Ακόμα βλέπω ότι η x=1

είναι λύση. Άμα παραγωγίσω, έχω ότι

$f{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{1}{x}$

Επειδή όμως $x+1>1-x\Leftrightarrow \sqrt{x+1}>\sqrt{1-x}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+1}}<\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{1}{x}<-\frac{1}{x}<0$

Επομένως η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

είναι μόνο η x=1

, εφόσον η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση