1Β-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να λυθεί η εξίσωση:
$\sigma \upsilon {\nu ^{2\nu + 1}}x + \eta {\mu ^{2\nu + 2}}x = 1$ ,
όπου ν είναι ένας δοσμένος φυσικός θετικός αριθμός.

#2

Καλησπέρα, απο τον Πειραιά!
Μια προσπάθεια επίλυσης στην άσκηση του Αντώνη Κυριακόπουλου...

Aν ν=0 , τότε εύκολα προκύπτει πως :
συνχ=0 ή συνχ=1 , δηλαδή :
χ=2κπ+π/2 ή χ= 2κπ, κ ακέραιος.

Αν ν=1, τότε έχουμε, μετά απο πράξεις:
συνχ=0 ή συνχ=1 ή συνχ=-2 (αδύνατη)

δηλαδή οι ίδιες λύσεις με την περίπτωση ν=0.

Ας υποθέσουμε τώρα πως ν>1.

Παρατηρούμε πως αν συνχ<0 , τότε η εξίσωσή μας δεν έχει λύση γιατί :
$\displaystyle{ \eta \mu ^{2\nu + 2} x = 1 - \sigma \upsilon \nu ^{2\nu + 1} x > 1{\rm{ }}(\alpha \varphi o\upsilon {\rm{ }}\sigma \upsilon \nu ^{{\rm{2}}\nu {\rm{ + 1}}} x < 0) }$
.
Μπορεί λοιπόν να είναι :
$\displaystyle{ 0 \le \sigma \upsilon \nu x \le 1 }$

Αν συνχ=0, τότε χ=κπ+π/2, κ ακέραιος,ενω αν συνχ=1, τότε χ=2κπ, κ ακέραιος.
Αν 0<συνχ<1 , τότε θα είναι και :
$\displaystyle{ \eta \mu ^{2\nu } x < 1 \Leftrightarrow \eta \mu ^{2\nu + 2} x < \eta \mu ^2 x\left( 1 \right) }$

αλλά και :
$\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu ^{2\nu - 1} x < 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu ^{2\nu + 1} x < \sigma \upsilon \nu ^2 x\left( 2 \right) }$

Κάνοντας πρόσθεση κατά μέλη στις (1) και (2) έχουμε:
$\displaystyle{ \eta \mu ^{2\nu + 2} x + \sigma \upsilon \nu ^{2\nu + 1} x < 1\left( 3 \right) }$

Αν υποθέσουμε πως χ είναι μα λύση της δοθείσας τότε η (3) δίνει : 1<1.Ατοπο.
Τελικά ως λύσεις προέκυψαν οι παρακάτω:
χ=2κπ ή χ=κπ+π/2 με κ ακέραιο, οι οποίες και επαληθεύουν την εξίσωσή μας.

#3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση:
$\sigma \upsilon {\nu ^{2\nu + 1}}x + \eta {\mu ^{2\nu + 2}}x = 1$ ,
όπου ν είναι ένας δοσμένος φυσικός θετικός αριθμός.

Υπόδειξη

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ουπς, Χρήστο με πρόλαβες. Το αφήνω έτσι κι αλλιώς.

#4

Mιχάλη, νομίζω πως είναι πολύ καλύτερα που με πρόλαβες, λόγω κομψότητας και ...οικονομίας χρόνου.
Καλημέρα σε όλους!

Α.Κυριακόπουλος · #5

Χρήστο, σωστά οι λύσεις είναι αυτές που βρήκες: x=π/2+κπ και x=2κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός.
• Δες τώρα στο συνημμένο και τη δική μου λύση ( προσπάθησα να τη γράψω σε La Teχ αλλά δεν τα κατάφερα).

Microsoft Word - Τριγωνομετρική εξίσωση.pdf: (49.15 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές

1Β-Άλγεβρα

1Β-Άλγεβρα

Re: 1Β-Άλγεβρα

Re: 1Β-Άλγεβρα

Re: 1Β-Άλγεβρα

Re: 1Β-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση