Τριγωνομετρία

#1

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $\displaystyle\eta \mu^2 \frac{A}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{B}{3}=\eta \mu^2 \frac{B}{2}+\sigma \upsilon \nu^3 \frac{A}{3}$ , να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

A.Spyridakis · #2

Τα τόξα Α/2, Α/3, Β/2, Β/3 βρίσκονται προφανώς μεταξύ 0 και π/2, όπου τα ημχ, συνχ είναι αυξ. & φθίν. αντίστοιχα.
Αν λοιπόν Α<Β, τότε Α/2<Β/2, οπότε ημ(Α/2)<ημ(Β/2), [και αφού είναι θετικοί] ημ^2(Α/2)<ημ^2(Β/2) (i). Όμοια βρίσκουμε ότι συν^3(Α/3)>συν^3(Β/3) ή - συν^3(Α/3)< - συν^3(Β/3) (ii). Προσθέτοντας τις (i), (ii) καταλήγουμε στο (άτοπο) ημ^2(Α/2) + συν^3(Β/3) < ημ^2(Β/2) + συν^3(Α/3). Όμοια και αν υποθέσουμε ότι Α>Β.

#3

Αντώνη ευχαριστώ για την ανταπόκριση και την ωραία λύση.

Το 1987 στην Βαλκανική μαθηματική ολυμπιάδα η Κύπρος είχε προτείνει το εξής θέμα:

''Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με την ιδιότητα $\eta \mu ^{23}\left(\frac{\alpha }{2} \right)\sigma \upsilon \nu^{48} \left(\frac{\beta }{2} \right)=\eta \mu ^{23}\left(\frac{\beta }{2} \right)\sigma \upsilon \nu^{48} \left(\frac{\alpha }{2} \right)$ όπου α και β είναι οι γωνίες με κορυφές Α και Β αντίστοιχα, να βρεθεί ο λόγος ΑΓ/ΒΓ.''

Νομίζω ότι οι ασκήσεις αυτές βοηθούν τους μαθητές της Β΄Λυκείου να κατανοήσουν πόσο γόνιμη ιδέα είναι η μονοτονία συνάρτησης.

A.Spyridakis · #4

Παύλο, έτσι ήταν η άσκηση που πρότεινε η Κύπρος? Διότι, η λύση μού φαίνεται απλή. Διόρθωσέ με αν κάνω λάθος:
Αφού ζητείται ο λόγος ΑΓ/ΒΓ, δεν θα εξαρτάται από τίποτ' άλλο (π.χ. τις τιμές των γωνιών α, β), αλλά μόνο από τη σχέση που δίνεται. Και η οποία ισχύει για α=β. Επομένως ΑΓ/ΒΓ=1.
Μου ξεφεύγει κάτι???

#5

Έτσι ήταν η εκφώνηση και δεν σου διαφεύγει κάτι!
Η όλη ιστορία είναι να κάνει κανείς χρήση της μονοτονίας όπως ακριβώς στη λύση που έδωσες.

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση