ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} 36{x^2}y - 27{y^3} = 8\\ 4{x^3} - 27x{y^2} = 4\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$

S.E.Louridas · #2

Μία υπόδειξη σε hide γιά να ασχοληθούν και άλλοι λύτες.
Η άσκηση αυτή παρνάει Μεθοδολογία, οπότε καλό είναι να την "παλέψει" κανείς πρίν δεί την υπόδειξη.

Για την λύση της, είναι καλό να θυμηθούμε την αντικατάσταση y=kx

, λόγω των ομογενών πολυωνύμων 3ου-βαθμού των πρώτων μελών, προσδιορίζοντας έτσι πρώτα τον

...

edit: Άρση της απόκρυψης μετά από την λύση του Θανάση (κάτω).

#3

Αλλιώς:

Είναι $\displaystyle{(2x+3yi)^3=...=8+8i\implies 2x+3yi=(1+i)^{1/3}=...}$

parmenides51 · #4

Αξιοποιώντας την ιδέα του Σωτήρη

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 36{x^2}y - 27{y^3} = 8\\ 4{x^3} - 27x{y^2} = 4\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$

θέτω $\displaystyle{y=kx}$

οπότε το σύστημα γίνεται $\left\{ \begin{array}{l} 36kx^3 - 27k^3x^3 = 8\\ 4{x^3} - 27k^2x^3 = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} kx^3(36 - 27k^2)= 8 \\ x^3(4 - 27k^2) = 4 \end{array} \right.$

εφόσον $\displaystyle{x^3(4 - 27k^2) = 4\ne 0}$ διαιρούμε κατά μέλη τις τελευταίες εξισώσεις κι έχουμε

$\displaystyle{\frac{k(36 - 27k^2)}{4 - 27k^2}=2 \Leftrightarrow 36k- 27k^3=8 - 54k^2 \Leftrightarrow 27k^3-54k^2 -36k+8=0}$ (1)

θέτω $\displaystyle{w=3k}$ οπότε η (1) γίνεται

$\displaystyle{w^3-6w^2 -12w+8=0 \Leftrightarrow (w+2)(w^2 -8w+4)=0 \Leftrightarrow w=-2 }$ ή $\displaystyle{w=4\pm 2\sqrt3}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w= -2 \Rightarrow k=\frac{w}{3}=\frac{-2}{3}}$

οπότε $\displaystyle{x^3(4 - 27k^2) = 4 \Rightarrow x^3=\frac{4}{4 - 27k^2}=\frac{4}{\displaystyle 4 - 27\frac{(-2)^2}{3^2}}=\frac{4}{4 - 3\cdot4}=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow x=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=-\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2^2}}}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

και $\displaystyle{y=kx=-\frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w=4+ 2\sqrt3 \Rightarrow k=\frac{w}{3}=\frac{4+2\sqrt3}{3}}$

οπότε $\displaystyle{x^3=\frac{4}{4 - 27k^2}=\frac{4}{\displaystyle 4 - 27\frac{4(2+ \sqrt3)^2}{3^2}}=\frac{1}{1-3(7+4\sqrt3)}=\frac{-1}{20+ 12\sqrt3}=\frac{-1}{4(5+3\sqrt3)}}$

$\displaystyle{x^3=-\frac{1}{4(5+3\sqrt3)}=-\frac{3\sqrt3-5}{4(3^2\sqrt3^2-5^2)}=-{\frac{3\sqrt3-5}{4(27-25)}}=-\frac{3\sqrt3-5}{8}}}$

$\displaystyle{x=-\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3-5}{8}}}=-\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{2}}}$

και $\displaystyle{y=kx=\frac{4+2\sqrt3}{3} \left(-\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{2}\right)=-\frac{(2+ \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{3}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w=4- 2\sqrt3 \Rightarrow k=\frac{w}{3}=\frac{4-2\sqrt3}{3}}$

οπότε $\displaystyle{x^3=\frac{4}{4 - 27k^2}=\frac{4}{4 - 27\frac{4(2- \sqrt3)^2}{3^2}}=\frac{1}{1-3(7-4\sqrt3)}=\frac{1}{12\sqrt3-20}=\frac{1}{4(3\sqrt3-5)}}$

$\displaystyle{x^3=\frac{1}{4(3\sqrt3-5)}=\frac{3\sqrt3+5}{4(3^2\sqrt3^2-5^2)}={\frac{3\sqrt3+5}{4(27-25)}}=\frac{3\sqrt3+5}{8}}}$

$\displaystyle{x=\sqrt[3]{\frac{3\sqrt3+5}{8}}}=\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2}}}$

και $\displaystyle{y=kx=\frac{4-2\sqrt3}{3} \left(\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2}\right)=\frac{(2- \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{3}$

οπότε το αρχικό σύστημα έχει λύσεις τις

$\displaystyle{ (x_1,y_1)=\left(-\frac{\sqrt[3]{4}}{2},\frac{\sqrt[3]{4}}{3}\right)}$
$\displaystyle{(x_2,y_2)=\left(-\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{2}},-\frac{(2+ \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{3}\right)}$
$\displaystyle{(x_3,y_3)=\left(\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2}},\frac{(2- \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{3}\right)}$

edit

Αξιοποιώντας την ιδέα του Θανάση (socrates)

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 36{x^2}y - 27{y^3} = 8\\ 4{x^3} - 27x{y^2} = 4\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle{(2x+3yi)^3=(2x)^3+3(2x)^23yi+3\cdot 2x(yi)^2+(3yi)^3=8x^3+36x^23i+54xy^2+27y^3i}$

$\displaystyle{=2(4{x^3} - 27x{y^2} )+(36{x^2}y - 27{y^3} )i=2\cdot 4+8i=8+8i =8\sqrt2\left(\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{4} +i\eta \mu \frac{\pi}{4}\right)$

$\displaystyle{2x+3yi=z_k=\sqrt[3]{8\sqrt2}\left(\sigma\upsilon\nu \left(\frac{\displaystyle 2\kappa \pi+\frac{\pi}{4}}{3\right)+i\eta\mu\left(\frac{\displaystyle 2\kappa \pi+ \frac{\pi}{4}}{3}\right)}\right)}$ για $\displaystyle{k=0,1,2}$

οπότε $\displaystyle{z_0=2\sqrt[3]{\sqrt2}\left(\sigma\upsilon\nu \frac{\frac{\pi}{4}}{3}+i\eta\mu\frac{ \frac{\pi}{4}}{3}}\right)=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{12}+i\eta\mu\frac{ \pi}{12}}\right)}$

$\displaystyle{z_1=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \left(\frac{\displaystyle 2 \pi+\frac{\pi}{4}}{3\right)+i\eta\mu\left(\frac{\displaystyle 2 \pi+ \frac{\pi}{4}}{3}\right)}\right)=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \frac{9\pi}{12}+i\eta\mu\frac{9 \pi}{12}}\right)}$
$\displaystyle{=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \frac{3\pi}{4}+i\eta\mu\frac{3\pi}{4}}\right)=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu\left(\pi- \frac{\pi}{4}\right)+i\eta\mu\left(\pi- \frac{\pi}{4}\right)\right)}$
$\displaystyle{=2\sqrt[6]{2}\left(-\sigma\upsilon\nu \frac{\pi}{4}+i\eta\mu \frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt[6]{2}\left(- \frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt[6]{2}\left(-\sqrt2+i\sqrt2\right)}$

$\displaystyle{z_2=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \left(\frac{4 \pi+\frac{\pi}{4}}{3\right)+i\eta\mu\left(\frac{4 \pi+ \frac{\pi}{4}}{3}\right)}\right)=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \frac{17\pi}{12}+i\eta\mu\frac{17 \pi}{12}}\right)}$

$\displaystyle{=2\sqrt[6]{2}\left(\sigma\upsilon\nu \left(\frac{3\pi}{2} -\frac{\pi}{12}\right)+i\eta\mu\left(\frac{3\pi}{2} -\frac{\pi}{12}\right)\right)=-2\sqrt[6]{2}\left( \eta\mu\frac{\pi}{12} +i\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{12}\right)}$

είναι $\displaystyle{\eta\mu\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\sigma \upsilon \nu 2\frac{\pi}{12}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sigma \upsilon \nu\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}}$
και $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\sigma \upsilon \nu 2\frac{\pi}{12}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sigma \upsilon \nu\frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}$

οπότε $\displaystyle{z_0=2\sqrt[6]{2}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}+i\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}}\right)=\sqrt[6]{2}\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt3}+i\sqrt{2-\sqrt3}\right)}$
$\displaystyle{z_1=\sqrt[6]{2}\left(-\sqrt2+i\sqrt2\right)}$
$\displaystyle{z_2=-2\sqrt[6]{2}\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}+i\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}\right)=-\sqrt[6]{2}\left(\sqrt{2-\sqrt3}+i\sqrt{2+\sqrt3}}\right)}$

κι αφού $\displaystyle{2χ+3yi=z_k}$ για $\displaystyle{k=0,1,2}$ έχουμε

$\displaystyle{\Rightarrow (x,y)=\left(\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2},\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{3}}\right) }$
ή $\displaystyle{(x,y)=\left(-\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{\sqrt2}}{2},\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{\sqrt2}}{3}}\right)}$
ή $\displaystyle{(x,y)=\left(-\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2},-\sqrt[6]{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}\right)}$

parmenides51 · #5

διαφορετικά οι πράξεις με τους μιγαδικούς

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} 36{x^2}y - 27{y^3} = 8\\ 4{x^3} - 27x{y^2} = 4\\ \left( {x,y \in R} \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle{(2x+3yi)^3=(2x)^3+3(2x)^23yi+3\cdot 2x(yi)^2+(3yi)^3=8x^3+36x^23i+54xy^2+27y^3i}$

$\displaystyle{=2(4{x^3} - 27x{y^2} )+(36{x^2}y - 27{y^3} )i=2\cdot 4+8i=8+8i}$

ψάχνω $\displaystyle{a,b\in \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{(a+bi)^3=8+8i }$ οπότε $\left\{ \begin{array}{l} 2x=a \\ 3y=b \end{array} \right.\Leftrightarow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x=\frac{a}{2 }\\ \\ \displaystyle y=\frac{b}{3} \end{array} \right.$

$\displaystyle{(a+bi)^3=a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i$

$\displaystyle{\Rightarrow (a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i=1+i\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^3-3ab^2 = 8\\ 3a^2b-b^3 = 8\\ \end{array} \right.}$ (S)

$\displaystyle{3a^2b-b^3 = 8 \Leftrightarrow b(3a^2-b^2) = 8\ne 0 \Rightarrow b\ne 0}$

θέτω $\displaystyle{w=\frac{a}{b}}$ και αφού διαιρέσουμε τις εξισώσεις του (S) με το $\displaystyle{b^3}$ έχουμε

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{a^3}{b^3}-\frac{3ab^2}{b^3} = \frac{8}{b^3} \\ \\ \displaystyle \frac{3a^2b}{b^3}-\frac{b^3}{b^3} = \frac{8}{b^3}\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle w^3- 3w = \frac{8}{b^3} \\ \\ \displaystyle 3w^2-1 = \frac{8}{b^3} \,\, {\color {red}(1)}\\ \end{array} \right. \Rightarrow w^3- 3w = 3w^2-1}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow w^3- 3w^2-3w+1=0 \Leftrightarrow (w+1)(w^2-4w+1)=0 \Leftrightarrow w=-1 }$ ή $\displaystyle{w=2\pm \sqrt3}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w=-1}$ τότε από την (1) έχουμε

$\displaystyle{ \frac{8}{b^3}= 3w^2-1 =3(-1)^2-1=3-1=2 \Rightarrow b^3=\frac{8}{2}=4 \Leftrightarrow b=\sqrt[3]{4}}$

και $\displaystyle{w=\frac{a}{b} \Rightarrow a=bw=-1 \sqrt[3]{4}=- \sqrt[3]{4}}$

οπότε $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x=\frac{a}{2 }=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\\ \\ \displaystyle y=\frac{b}{3}=\frac{\sqrt[3]{4}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow (x,y)=\left( -\frac{\sqrt[3]{4}}{2},\frac{\sqrt[3]{4}}{3}\right)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w=2+ \sqrt3}$ τότε από την (1) έχουμε

$\displaystyle{ \frac{8}{b^3}= 3w^2-1 =3(2+ \sqrt3)^2-1=3(4+4\sqrt3+3)-1=21-12\sqrt3-1=20-12\sqrt3}$

$\displaystyle{ \Rightarrow b^3=-\frac{8}{12\sqrt3-20}=-\frac{8}{4(3\sqrt3-5)}=-\frac{2(3\sqrt3+5)}{3^2\sqrt3^2-5^2}=-\frac{2(3\sqrt3+5)}{27-25}=-(3\sqrt3+5)}$

$\displaystyle{\Rightarrow b=-\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}$

και $\displaystyle{w=\frac{a}{b} \Rightarrow a=bw=(2+ \sqrt3)\left(-\sqrt[3]{3\sqrt3+5}\right)=-(2+ \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}$

οπότε $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x=\frac{a}{2 }=-\frac{(2+ \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2}\\ \\ \displaystyle y=\frac{b}{3}=-\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow (x,y)=\left( -\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2},-\frac{(2+ \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3+5}}{2} \right)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{w=2- \sqrt3}$ τότε από την (1) έχουμε

$\displaystyle{ \frac{8}{b^3}= 3w^2-1 =3(2- \sqrt3)^2-1=3(4-4\sqrt3+3)-1=21+12\sqrt3-1=20+12\sqrt3}$

$\displaystyle{ \Rightarrow b^3=\frac{8}{12\sqrt3+20}=\frac{8}{4(3\sqrt3+5)}=\frac{2(3\sqrt3-5)}{3^2\sqrt3^2-5^2}=\frac{2(3\sqrt3-5)}{27-25}=3\sqrt3-5}$

$\displaystyle{\Rightarrow b=\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}$

και $\displaystyle{w=\frac{a}{b} \Rightarrow a=bw=(2- \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}$

οπότε $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x=\frac{a}{2 }=\frac{(2- \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{2}\\ \\ \displaystyle y=\frac{b}{3}=\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{3} \end{array} \right.\Rightarrow (x,y)=\left( \frac{(2- \sqrt3)\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{2},\frac{\sqrt[3]{3\sqrt3-5}}{3} \right)}$

Υ.Γ.1. Επίσης το σύστημα $\displaystyle{ z^3=8+8i}$ που αναγόμαστε τελικά, λύνεται διαφορετικά εδώ

Υ.Γ.2. Όλα τα αποτελέσματα μοιάζουν, θα τα τσεκάρω ξανά και θα αποδείξω οτι είναι ισοδύναμα στην 2η έκδοση

Υ.Γ.3. Συνολικά με την παραπάνω λύση μου, την λύση του Κώστα Ζερβού στην παραπομπή που μόλις έδωσα,
και την λύση του socrates εδώ φθάσαμε στις $\displaystyle{76+3 =79}$ λύσεις,
οπότε αναζητούμε άλλη μια λύση σε οποιοδήποτε από τα 40 συστήματα για να πάμε στις $\displaystyle{80}$ λύσεις και στην 2η έκδοση του φυλλαδίου με τα συστήματα εδώ

ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 31 (ΜΟΛΔΑΒΙΑ)

Μέλη σε σύνδεση