Κοινή περιοχή

KARKAR · #1

: Κοινή περιοχή.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Δύο ίσα ορθογώνια διαστάσεων $a\times b$ , είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα , δηλαδή έχουν μια κοινή

κορυφή και οι ίσες πλευρές του σχηματίζουν γωνία $\phi$ . Βρείτε το εμβαδόν της κοινής τους επιφάνειας ,

συναρτήσει των πλευρών και ενός μόνο τριγωνομετρικού αριθμού . Εφαρμογή : $a=4 , b=3 , \phi = 30^0$

#2

KARKAR έγραψε:
Κοινή περιοχή.png
Δύο ίσα ορθογώνια διαστάσεων $a\times b$ , είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα , δηλαδή έχουν μια κοινή

κορυφή και οι ίσες πλευρές του σχηματίζουν γωνία $\phi$ . Βρείτε το εμβαδόν της κοινής τους επιφάνειας ,

συναρτήσει των πλευρών και ενός μόνο τριγωνομετρικού αριθμού . Εφαρμογή : $a=4 , b=3 , \phi = 30^0$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κοινή περιοχή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δύο ίσα ορθογώνια διαστάσεων $a\times b$ , είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα , δηλαδή έχουν μια κοινή

κορυφή και οι ίσες πλευρές του σχηματίζουν γωνία $\phi$ . Βρείτε το εμβαδόν της κοινής τους επιφάνειας ,

συναρτήσει των πλευρών και ενός μόνο τριγωνομετρικού αριθμού . Εφαρμογή : $a=4 , b=3 , \phi = 30^0$

Καλημέρα.

Έστω ότι οι EF, DC

τέμνονται στο σημείο

. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:
$\displaystyle{(DCFE)}$ = (DEP)-(CFP)

.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο DEP

, είναι $\displaystyle{DP = \frac{b}{{\eta \mu \varphi }}}$ και

$\displaystyle{E{P^2} = \frac{{{b^2}}}{{\eta {\mu ^2}\varphi }} - {b^2} \Leftrightarrow E{P^2} = \frac{{{b^2}(1 - \eta {\mu ^2}\varphi )}}{{\eta {\mu ^2}\varphi }} \Leftrightarrow EP = b\sigma \varphi \varphi }$ .

$\displaystyle{(DEP) = \frac{1}{2}DE \cdot EP \Leftrightarrow (DEP) = \frac{1}{2}{b^2}\sigma \varphi \varphi }$ (1)

: Κοινή περιοχή.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

$\displaystyle{ \Leftrightarrow CP = \frac{b}{{\eta \mu \varphi }} - a = \frac{{b - a\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }}}$ και από το τρίγωνο CPF

είναι

$\displaystyle{CF = CP\varepsilon \varphi \varphi \Leftrightarrow CF = \frac{{b - a\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }}\varepsilon \varphi \varphi }$ .

Άρα: $\displaystyle{(CPF) = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{b - a\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }}} \right)^2}\varepsilon \varphi \varphi }$ (2)

Από (1) και (2), $\displaystyle{(DCFE) = \frac{1}{2}{b^2}\sigma \varphi \varphi - \frac{1}{2}{\left( {\frac{{b - a\eta \mu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }}} \right)^2}\varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{2}{b^2}\frac{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta \mu \varphi }} - \frac{1}{2}\frac{{{{(b - a\eta \mu \varphi )}^2}}}{{\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi }}}$

$\displaystyle{(DCFE) = \frac{1}{{2\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi }}\left( {{b^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - {b^2} + 2ab\eta \mu \varphi - {a^2}\eta {\mu ^2}\varphi } \right)}$

$\displaystyle{(DCFE) = \frac{1}{{2\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi }}\left( {{b^2} - {b^2}\eta {\mu ^2}\varphi - {b^2} + 2ab\eta \mu \varphi - {a^2}\eta {\mu ^2}\varphi } \right)}$

$\displaystyle{(DCFE) = \frac{{ab}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} - \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \right)\varepsilon \varphi \varphi \Leftrightarrow (DCFE) = ab\sqrt {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } - \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} \right)\varepsilon \varphi \varphi }$ .

Για a=4, b=3

, $\displaystyle{\varphi = {30^0}}$ , έχουμε:

$\displaystyle{(DCFE) = 12\sqrt {1 + \frac{1}{3}} - \frac{{25}}{2}\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 8\sqrt 3 - \frac{{25\sqrt 3 }}{6}}$

$\displaystyle{(DCFE) = \frac{{23\sqrt 3 }}{6}\tau .\mu }$

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κοινή περιοχή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δύο ίσα ορθογώνια διαστάσεων $a\times b$ , είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα , δηλαδή έχουν μια κοινή

κορυφή και οι ίσες πλευρές του σχηματίζουν γωνία $\phi$ . Βρείτε το εμβαδόν της κοινής τους επιφάνειας ,

συναρτήσει των πλευρών και ενός μόνο τριγωνομετρικού αριθμού . Εφαρμογή : $a=4 , b=3 , \phi = 30^0$

: κοινό μέρος.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Ας είναι $ABCD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DHTS$ τα δύο ορθογώνια με το

μέσα στο πρώτο ορθογώνιο.
Από το

φέρνουμε παράλληλη στην

που τέμνει τις AD,BC

στα

. Θεωρούμε ακόμα

την προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των πλευρών $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HT$ . Θέτουμε: KH = x,KD = y,KA = z

. Θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} x = b\sigma \upsilon \nu \varphi ,y = b\eta \mu \varphi \,\, \hfill \\ \varepsilon \varphi \varphi = \varepsilon \varphi {\varphi _1} = \dfrac{{GL}}{{HL}} = \dfrac{{GL}}{{a - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα $GL = (a - b\eta \mu \varphi )\varepsilon \varphi \varphi$ .

Είναι $(DKH) = \dfrac{1}{2}xy = \dfrac{1}{2}{b^2}\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{1}{4}\eta \mu 2\varphi \,\,(1)$

$(GLH) = \dfrac{1}{2}HL \cdot GL = \dfrac{1}{2}(a - x)(a - x)\varepsilon \varphi \varphi = \dfrac{1}{2}\varepsilon \varphi \varphi {(\alpha - b\eta \mu \varphi )^2}\,\,(2)$ και

$(ABLK) = az = a(b - y) = a(b - b\sigma \upsilon \nu \varphi ) = ab(1 - \sigma \upsilon \nu \varphi )\,\,(3)$ . Το ζητούμενο εμβαδόν

θα προκύψει αν από το εμβαδόν (ABCD)

αφαίρεσουμε τα εμβαδά που δίδουν οι σχέσεις (1),(2),(3)

.
Δηλαδή :
$E = ab - \dfrac{1}{4}{b^2}\eta \mu 2\varphi - \dfrac{1}{2}\varepsilon \varphi \varphi {(a - b\eta \mu \varphi )^2} - ab + ab\sigma \upsilon \nu \varphi$ ή

$\boxed{4E = 4ab\sigma \upsilon \nu \varphi - {b^2}\eta \mu 2\varphi - 2\varepsilon \varphi \varphi {{(a - b\eta \mu \varphi )}^2}}$ . Αλλά αν $\boxed{\varepsilon \varphi \varphi = u}$ ισχύουν:

$\sigma \upsilon \nu \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {u^2}} }},\eta \mu \varphi = \dfrac{u}{{\sqrt {1 + {u^2}} }},\eta \mu 2\varphi = \dfrac{{2u}}{{1 + {u^2}}}$ και έτσι θα έχουμε:

$4E = 4ab\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {u^2}} }} - {b^2}\dfrac{{2u}}{{1 + {u^2}}} - 2u{(a - b\dfrac{u}{{\sqrt {1 + {u^2}} }})^2}$ ή

$4E = 4ab\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {u^2}} }} - \dfrac{{2{b^2}u}}{{1 + {u^2}}} - 2u({a^2} + {b^2}\dfrac{{{u^2}}}{{1 + {u^2}}} - 2ab\dfrac{u}{{\sqrt {1 + {u^2}} }})$ ή

$4E = 4ab\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {u^2}} }} - \dfrac{{2{b^2}u}}{{1 + {u^2}}} - 2u{a^2} - 2{b^2}\dfrac{{{u^3}}}{{1 + {u^2}}} + 4ab\dfrac{{{u^2}}}{{\sqrt {1 + {u^2}} }}$ ή

$4E = \dfrac{{4ab}}{{\sqrt {1 + {u^2}} }}(1 + {u^2}) - \dfrac{{2{b^2}u}}{{1 + {u^2}}} - 2u{a^2} - 2{b^2}\dfrac{{{u^3}}}{{1 + {u^2}}}$ ή

$\boxed{4E = 4ab(\sqrt {1 + {u^2}} ) - 2u({a^2} + {b^2})}$ ή $\boxed{E = ab(\sqrt {1 + {u^2}} ) - \dfrac{1}{2}u({a^2} + {b^2})}$

Νίκος

Κοινή περιοχή

Κοινή περιοχή

Re: Κοινή περιοχή

Re: Κοινή περιοχή

Re: Κοινή περιοχή

Μέλη σε σύνδεση