Εξίσωση

mathxl · #1

Ακόμη μία για ολυμπιάδες 14+ από τον ίδιο συγγραφέα $8 cosx=\frac{\sqrt{3}}{sinx}+\frac{1}{cosx}$

#2

Bασίλη , είμαι σίγουρος πως ο συγγραφέας είναι Ρουμάνος!
Dorin Trigonometrescu ίσως;
Πάμε για μια προσπάθεια επίλυσης.
Κατ'αρχήν πρέπει το χ να είναι διαφορετικό απο κπ και κπ+π/2, κ ακέραιος.
Πολλαπλασιάζω με sin2χ και τα δύο μέλη και λαμβάνω:

$\displaystyle{ 8\sin 2x\cos x = \frac{{\sqrt 3 \sin 2x}}{{\sin x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos x}} \Rightarrow 2\sin 2xcosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \cos x + \frac{1}{2}\sin x }$
ή καλύτερα:

$\displaystyle{ \sin 3x + \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x \Rightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\cos x - \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\sin x }$

ΜΜΜ...ωραία!

$\displaystyle{ \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) }$
Με λύσεις τις :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{2} + \frac{\pi }{{12}} \\ x = k\pi + \frac{\pi }{3} \\ \end{array} }$
όπου κ ακέραιος.
Λύσεις δεκτές αφού ικανοποιούν τους περιορισμούς και εύκολα επαληθεύσιμες.

mathxl · #3

chris_gatos έγραψε:Dorin Trigonometrescu ίσως;
.

Ωραία λύση Χρήστο

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση