Ισότητες

mathxl · #1

Να αποδείξετε τις παρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες, με n φυσικό αριθμό
$\boxed{\ \begin{array}{cccccc}1\blacktriangleright & x+y+z = (2n+1)\pi &\implies &\sin x+\sin y+\sin z & = & (-1)^{n}4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{z}{2}\\ \\ 2\blacktriangleright & x+y+z = 2n\pi &\implies &\sin x+\sin y+\sin z & = & (-1)^{n-1}4\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}\sin\frac{z}{2}\end{array}\ }$

Άσκηση
Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒC ισχύει
$\boxed{\ \sin 3A\cdot\cos^{3}(B-C)+\sin 3B\cdot\cos^{3}(C-A)+\sin 3C\cdot\cos^{3}(A-B) =\sin 3A\cdot\sin 3B\cdot\sin 3C\ }$

#2

Βασίλη ,τι μας κάνεις;;;

άλλο θέμα άρχισα να απαντάω και όταν πάτησα ''υποβολή'',το σύστημα που είπε ότι το θέμα ΔΕΝ υπάρχει...

mathxl · #3

Συγνώμη Φωτεινή

αλλά τελευταία στιγμή και ύστερα από παρότρυνση του Τάσου (μπετατζή) το έβαλα στο φάκελο μαθητών. Κράτα την απάντηση σου μέχρι μεθαύριο και αν δεν υπάρξη λύση τότε...

Ιστοσελίδα · #4

ξεκινάω με την 2

Από την σχέση $\displaystyle{x + y + z = 2n\pi }$ προκύπτουν οι σχέσεις

$\displaystyle{ \frac{{x + y}}{2} = n\pi - \frac{z}{2} }$ και $\displaystyle{ \frac{z}{2} = n\pi - \frac{{x + y}}{2} }$

αλλά $\displaystyle{ \sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2} = 2\sin (n\pi - \frac{z}{2})\cos \frac{{x - y}}{2} }$ (1)

και $\displaystyle{ \sin z = 2\sin \frac{z}{2}\cos \frac{z}{2} = 2\sin \frac{z}{2}\cos \left( {n\pi - \frac{{x + y}}{2}} \right) }$ (2)

επειδή το n είναι άρτιος ή περιττός έχουμε:

$\displaystyle{ \sin \left( {n\pi - \frac{z}{2}} \right) = \pm \sin \frac{z}{2} = ( - 1)^{n - 1} \sin \frac{z}{2} }$

$\displaystyle{ \cos \left( {n\pi - \frac{{x + y}}{2}} \right) = \pm \cos \frac{{x + y}}{2} = - ( - 1)^{n - 1} \cos \frac{{x + y}}{2} }$

οπότε οι παραπάνω σχέσεις (1) και (2) γίνονται:

$\displaystyle{ \sin x + \sin y = ( - 1)^{n - 1} \cdot 2\sin \frac{z}{2}\cos \frac{{x - y}}{2} }$ και

$\displaystyle{ \sin z = ( - 1)^{n - 1} \cdot \left[ { - 2\sin \frac{z}{2}\cos \frac{{x + y}}{2}} \right] }$

και προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{ \sin x + \sin y + \sin z = ( - 1)^{n - 1} \cdot 2\sin \frac{z}{2}\left[ {\cos \frac{{x - y}}{2} - \cos \frac{{x + y}}{2}} \right] = }$

$\displaystyle{ = ( - 1)^{n - 1} \cdot 2\sin \frac{z}{2}2\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2} = ( - 1)^{n - 1} 4\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2}\sin \frac{z}{2} }$

Ισότητες

Ισότητες

Re: Ισότητες

Re: Ισότητες

Re: Ισότητες

Μέλη σε σύνδεση