...=4

kostas136 · #1

Συγνώμη για τον περίεργο τίτλο, λίγο κρύο χιούμορ.
Να αποδείξετε ότι: $\tan 9^0-\tan 27^0-\tan 63^0+\tan 81^0=4$

#2

Το πρώτο μέλος γίνεται:

$\displaystyle{ \tan 9^o + \tan 81^o - (\tan 27^o + \tan 63^o ) = \frac{{\sin 9^o \cos 81^o + \sin 81^o \cos 9^o }}{{\cos 9^o \cos 81^o }} - \frac{{\sin 27^o \cos 63^o + \cos 27^o \sin 63^0 }}{{\cos 27^o \cos 63^o }} = \frac{{\sin 90^o }}{{\cos 9^o \cos 81^o }} - \frac{{\sin 90^o }}{{\cos 27^o \cos 63^o }} }$

Δηλαδή:

$\displaystyle{ \frac{1}{{\cos 9^o \cos 81^o }} - \frac{1}{{\cos 27^o \cos 63^o }} }$

Όμως:

cos81=sin9 και cos63=sin27 ( συμπληρωματικά τόξα)

Αρα:

$\displaystyle{ \frac{1}{{\cos 9^o \cos 81^o }} - \frac{1}{{\cos 27^o \cos 63^o }} = \frac{2}{{2\cos 9^o \sin 9^o }} - \frac{2}{{2\sin 27^o \cos 27^o }} = \frac{2}{{\sin 18^o }} - \frac{2}{{\sin 54^o }} }$

Τελικά:

$\displaystyle{ \frac{2}{{\sin 18^o }} - \frac{2}{{\sin 54^o }} = 2\left( {\frac{{\sin 54^o - \sin 18^o }}{{\sin 54^o \sin 18^o }}} \right) = 2\frac{{2\sin 18^o \cos 36^o }}{{\sin 54^o \sin 18^o }} = 4 }$

Αφού $\displaystyle{ \cos 36^o = \sin 54^o }$

Ιστοσελίδα · #3

που να προλάβει κανείς τον Χρήστο
Έχουμε:

$\displaystyle{ \tan 9 - \tan 27 - \tan 63 + \tan 81 = (\tan 81 + \tan 9) - (\tan 27 + \tan 63) = }$

και με βάση γνωστή σχολική άσκηση έχουμε

$\displaystyle{ = \frac{{\sin (81 + 9)}}{{\cos 81\cos 9}} - \frac{{\sin (63 + 27)}}{{\cos 63\cos 27}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{2\sin 90}}{{2\cos 81\cos 9}} - \frac{{2\sin 90}}{{2\cos 63\cos 27}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{2}{{\cos 90 + \cos 72}} - \frac{2}{{\cos 90 + \cos 36}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{2(\cos 36 - \cos 72)}}{{\cos 36\cos 72}} = \frac{{4\sin 54\sin 18}}{{\cos 36\cos 72}} = 4 }$

αφού sin54 = cos(90-54)=cos36 και
sin18 = cos(90 – 18) = cos72

#4

Είναι: $\displaystyle \varepsilon \phi {\rm A} + \varepsilon \phi {\rm B} = \frac{{\eta \mu \left( {{\rm A} + {\rm B}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A} \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}$

Οπότε:
$\displaystyle \varepsilon \phi 9^\circ + \varepsilon \phi 81^\circ - \left( {\varepsilon \phi 27^\circ + \varepsilon \phi 63^\circ } \right) = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu 9^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 81^\circ }} - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu 27^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 63^\circ }} = \displaystyle = \frac{2}{{2\sigma \upsilon \nu 9^\circ \cdot \eta \mu 9^\circ }} - \frac{2}{{\sigma \upsilon \nu 27^\circ \cdot \eta \mu 27^\circ }} = \frac{2}{{\eta \mu 18^\circ }} - \frac{2}{{\eta \mu 54^\circ }} =$

$\displaystyle = 2\frac{{\eta \mu 54^\circ - \eta \mu 18^\circ }}{{\eta \mu 18^\circ \cdot \eta \mu 54^\circ }} = 2\frac{{2\eta \mu 18^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 36^\circ }}{{\eta \mu 18^\circ \cdot \eta \mu 54^\circ }} = 4$

Γιώργος Ρίζος

edit: Με πρόλαβαν ο Χρήστος και ο Σπύρος... Το αφήνω γιατί μου βγάλαν τη ψυχή τα "ανεξπέντεντ φάιλ έρορ" που εμφανιζόταν...

...=4

...=4

Re: ...=4

Re: ...=4

Re: ...=4

Μέλη σε σύνδεση