απόσταση πλευρών ρόμβου

John13 · #1

Παρακάτω έχω την άσκηση που μας έβαλαν στο σχολείο 4ο θέμα. Από τους περισσότερους θεωρήθηκε δύσκολη (την λύσαμε μόνο 3 παιδιά) και θα ήθελα τη γνώμη σας για το κατα πόσον είναι τόσο δύσκολη. Πάντως εμένα μου φάνηκε εύκολη.
Λοιπόν,
Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμο με περίμετρο $\Pi=8$ και διαγώνιο $\Gamma= \sqrt{10}$ . Έστω ακόμα ισοδύναμος ρόμβος με περίμετρο $\Pi$ ' =16

. Να βρεθεί η απόσταση των πλευρών του ρόμβου.

k-ser · #2

john007 έγραψε: Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμο με περίμετρο $\Pi=8$ και διαγώνιο $\Gamma= \sqrt{10}$ . Έστω ακόμα ισοδύναμος ρόμβος με περίμετρο $\Pi$ '. Να βρεθεί η απόσταση των πλευρών του ρόμβου.

Καλούλα είναι!
Καλό βέβαια θα ήταν, να είχε ένα 1ο ερώτημα ...να δειχθεί ότι το εμβαδόν του ρόμβου είναι 3 τ.μ.
Αν κάποιος δεν τα καταφέρει με την Άλγεβρα, δεδομένου ότι χρειάζεται η ταυτότητα: x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

, ενώ έχει τις γνώσεις της "Γεωμετρίας" που εξετάζονται, να μην χάσει όλες τις μονάδες.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Καλησπέρα !!
Δεν ήταν απαραίτητο να σκεφτούν την ταυτότητα . Μπορούσαν να βρουν το εμβαδόν του ορθογωνίου με σύστημα από τα δεδομένα . Και εγώ νομίζω ότι δεν είναι δύσκολη . Πιστεύω ότι οι καθηγητές την έβαλαν για να τη γράψουν και όσοι δεν ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη γεωμετρία . Χρειάζονταν πολύ βασικές γνώσεις Γεωμετρίας και Άλγεβρας . Το ότι την έλυσαν μόνο 3 παιδιά όπως λες απλά σημαίνει ότι οι εισηγητές των θεμάτων ήξεραν τι γινόταν .

lonis · #4

Ας δούμε πρώτα τη λύση:

Αν a, b

οι πλευρές του ορθογωνίου, τότε a+b=4

και

δηλαδή

οπότε

. Εδώ, από τις σχέσεις a+b=4

και

, οι πλευρές προκύπτουν 1, 3

γεγονός άχρηστο στη συνέχεια. Έτσι, το εμβαδόν του ορθογωνίου, επομένως και του ρόμβου είναι

. Η πλευρά του ρόμβου είναι

, και αφού $4\upsilon =3$ , συμπεραίνουμε ότι το ύψος του ρόμβου είναι τελικά $\upsilon =\frac{3}{4}$ .
Σαν άσκηση δεν είναι δύσκολη, απλά απαιτεί ταξινομημένη σκέψη και οργάνωση της δράσης βήμα-βήμα. Η δυσκολία βρίσκεται στον υπολογισμό του εμβαδού του ορθογωνίου. Η χρήση της ταυτότητας (a+b)^2-2ab=a^2+b^2

, διευκολύνει τα πράγματα, αλλά έτσι το δυσκολότερο τμήμα της άσκησης είναι αλγεβρικό. Ανάλογα, θα δυσκολευτεί ο μαθητής που θα υπολογίσει τις πλευρές λύνοντας σύστημα κι εδώ πάλι έχουμε αλγεβρικό σκόπελο. Βέβαια, είναι 4ο θέμα και δεν κρίνω τον βαθμό δυσκολίας του (ο διδάσκων ξέρει καλύτερα...) αλλά την "ποιότητα" δυσκολίας, αν μπορώ να το πω έτσι. Σε κάθε περίπτωση, μια κλιμάκωση του θέματος με ενδιάμεσο ερώτημα:
α. Αποδείξτε ότι το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 3 τετραγωνικές μονάδες, αφενός στρέφει το μυαλό των μαθητών στην εύρεση του γινομένου

και όχι ξέχωρα των πλευρών, αφετέρου κλιμακώνει δικαιότερα τη βαθμολογία.

Με κάθε επιφύλαξη
Λεωνίδας

ΥΓ: την ώρα που πληκτρολογούσα, με πρόλαβαν ο Κώστας και ο Χρήστος. Συμφωνούμε, νομίζω.

spege · #5

lonis έγραψε:Ας δούμε πρώτα τη λύση:

Αν οι πλευρές του ορθογωνίου, τότε και δηλαδή οπότε . Εδώ, από τις σχέσεις και , οι πλευρές προκύπτουν γεγονός άχρηστο στη συνέχεια. Έτσι, το εμβαδόν του ορθογωνίου, επομένως και του ρόμβου είναι . Η πλευρά του ρόμβου είναι , και αφού $4\upsilon =3$ , συμπεραίνουμε ότι το ύψος του ρόμβου είναι τελικά $\upsilon =\frac{3}{4}$ .
Σαν άσκηση δεν είναι δύσκολη, απλά απαιτεί ταξινομημένη σκέψη και οργάνωση της δράσης βήμα-βήμα. Η δυσκολία βρίσκεται στον υπολογισμό του εμβαδού του ορθογωνίου. Η χρήση της ταυτότητας , διευκολύνει τα πράγματα, αλλά έτσι το δυσκολότερο τμήμα της άσκησης είναι αλγεβρικό. Ανάλογα, θα δυσκολευτεί ο μαθητής που θα υπολογίσει τις πλευρές λύνοντας σύστημα κι εδώ πάλι έχουμε αλγεβρικό σκόπελο. Βέβαια, είναι 4ο θέμα και δεν κρίνω τον βαθμό δυσκολίας του (ο διδάσκων ξέρει καλύτερα...) αλλά την "ποιότητα" δυσκολίας, αν μπορώ να το πω έτσι. Σε κάθε περίπτωση, μια κλιμάκωση του θέματος με ενδιάμεσο ερώτημα:
α. Αποδείξτε ότι το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 3 τετραγωνικές μονάδες, αφενός στρέφει το μυαλό των μαθητών στην εύρεση του γινομένου και όχι ξέχωρα των πλευρών, αφετέρου κλιμακώνει δικαιότερα τη βαθμολογία.

Με κάθε επιφύλαξη
Λεωνίδας

ΥΓ: την ώρα που πληκτρολογούσα, με πρόλαβαν ο Κώστας και ο Χρήστος. Συμφωνούμε, νομίζω.

Απο φέτος δεν διδάσκουμε την ταυτότητα της σελίδας 18 και δεν κάνουμε θέματα αυτού του τύπου Καλύτερα με αντικατάσταση να λυνόταν το σύστημα
Σαν άσκηση είναι καλή , αν έσπαγε και σε ερωτήματα θαταν καλύτερη
Σπύρος Π

John13 · #6

Ναι και εμένα με παραξένεψε λίγο που δεν είχε κάποιο ενδιάμεσο ερώτημα για να βοηθήσει λίγο τους μαθητές, αλλά νομίζω ότι σε κανονικό διαγώνισμα δεν έμπαινε με τίποτα 4ο θέμα. 3ο το πολύ.

lonis · #7

Φίλε Σπύρο, την ταυτότητα της σελ. 18 δεν τη διδάσκουμε τα τελευταία χρόνια, αλλά διδάσκουμε την άσκηση 1, σελ. 124 (τύποι vieta), οπότε τη διδάσκουμε ... αργότερα.
Τώρα, με την άποψη του Γιάννη

john007 έγραψε: νομίζω ότι σε κανονικό διαγώνισμα δεν έμπαινε με τίποτα 4ο θέμα. 3ο το πολύ.

συμφωνώ, με τη λογική ότι "στίβω" τους μαθητές στη διάρκεια της χρονιάς και βάζω "εύκολα" και κυρίως νόμιμα θέματα στις εξετάσεις. Το νόμιμα αναφέρεται στον τρόπο που απαιτεί το Υπουργείο να θεματοδοτούμε - αλλά εμείς συχνά φτιάχνουμε δικό μας υπουργείο, δικό μας αναλυτικό πρόγραμμα κλπ. Ανεβάζω τα εύκολα-και-νόμιμα φετινά θέματα της γεωμετρίας Β λυκείου.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Α.Κυριακόπουλος · #8

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Το θέμα 1Β1 της γεωμετρίας που έχεις στο συνημμένο είναι:
« Χαρακτηρίστε ως Σωστό ή Λάθος κάθε μία από τις προτάσεις:
1. Αν ${\alpha ^2} < {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Οξυγώνιο
2…….
3.....».
Ποια είναι η απάντηση Σ ή Λ; Αφού, ένα τέτοιο τρίγωνο, μπορεί να είναι οξυγώνιο μπορεί όμως και να μην είναι.
Πράγματι, σε καθένα από τα παρακάτω τρία τρίγωνα ισχύει: ${\alpha ^2} < {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ και το πρώτο είναι ορθογώνιο (στο Γ), το δεύτερο είναι αμβλυγώνιο (στο Γ) και το τρίτο είναι οξυγώνιο.
$\rightarrow$ Πρώτο τρίγωνο: α=3,β=4 και γ=5.
$\rightarrow$ Δευτέρα τρίγωνο: α=3,β=5 και γ=6.
$\rightarrow$ Τρίτο τρίγωνο: α=5,β=6 και γ=7.
• Η ερώτηση στο θέμα 1Β1 δεν έχει μονοσήμαντη απάντηση. Δεν είναι μια πρόταση( για τα μαθηματικά ). Είναι ένας προτασιακός τύπος, ο οποίος άλλες φορές γίνεται μια πρόταση αληθής και άλλες φορές γίνεται μια πρόταση ψευδής.
•Στα θέματα Σ-Λ οι ερωτήσεις πρέπει να είναι προτάσεις για να έχουν μονοσήμαντη απάντηση (αν θυμάμαι καλά είναι η τέταρτη φορά που το γράφω και δεν θα κουραστώ να το γράψω, αν χρειαστεί, άλλες 1000 φορές ).

John13 · #9

Αφού δεν ισχύει πάντα ότι αν $\alpha^2< \beta^2 + \gamma^2$ το ΑΒΓ είναι οξύγωνιο η πρόταση δεν είναι λάθος?

giannisn1990 · #10

όχι ,αυτή η άποψη έχει καλλιεργηθεί σε πολλά σχολεία .. δες αν θες το άρθρο του κ. Κυριακόπουλου στα γενικά μηνύματα

John13 · #11

Μπορείς να μου δώσεις κάποιο link γιατί δεν το βρίσκω?

Α.Κυριακόπουλος · #12

john007 έγραψε:Αφού δεν ισχύει πάντα ότι αν $\alpha^2< \beta^2 + \gamma^2$ το ΑΒΓ είναι οξύγωνιο η πρόταση δεν είναι λάθος?

John007.
•Αυτή είναι η άποψη σου. Αλλά τα Μαθηματικά δεν είναι απόψεις: δική μου ,δική σου, δική του… Τα μαθηματικά είναι αυτά που είναι ,όπως έχουν τακτοποιηθεί από τον 19ο αιώνα, με βάση τη Μαθηματική Λογική. Δεν υπάρχουν πλέον σε αυτά ούτε κενά, ούτε μυστήρια, ούτε αντιφάσεις, ούτε… απόψεις. Τα πάντα είναι στη θέση τους.
•Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτά που λες δεν είναι σωστά. Δεν είναι σύμφωνα με τη Μαθηματική Λογική, με βάση την οποία θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται τα μαθηματικά.
Το ερώτημα του ζητήματος 1Β1 δεν είναι καν πρόταση ( για να απαντήσουμε ότι είναι αληθής ή ψευδής) , είναι ένας προτασιακός τύπος, ο οποίος άλλες φορές γίνεται μια πρόταση αληθής και άλλες φορές γίνεται μια πρόταση ψευδής ( βλ. προηγούμενο μήνυμα μου). Λοιπόν, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο μαθητής; Σωστό ή Λάθος;
Με εκτίμηση.

Υ.Γ. Αγαπητέ φίλε Κώστα Σερίφη, θυμάσαι τι σου έλεγα;

#13

Ένας προβληματισμός:
Τι έχουμε να πούμε για τα επόμενα, είναι προτάσεις ή προτασιακοί τύποι; Χαρακτηρίζονται ναι ή όχι σαν "σωστό" ή "λάθος";

1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.
2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με μεγαλύτερη πλευρά την β.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.
3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με μεγαλύτερη πλευρά την α.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

lonis · #14

Η υπόθεση : "Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2}$ ", γίνεται ισοδύναμα: "αν $\hat{A }$ οξεία" και οι προτάσεις μετασχηματίζονται ως εξής:
1. Αν $\hat{A }$ οξεία,τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
2. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{A } , \hat{\Gamma } \leq \hat{B}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
3. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{B } , \hat{\Gamma } \leq \hat{A}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (πρόταση, αληθής)

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Α.Κυριακόπουλος · #15

lonis έγραψε:Η υπόθεση : "Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2}$ ", γίνεται ισοδύναμα: "αν $\hat{A }$ οξεία" και οι προτάσεις μετασχηματίζονται ως εξής:
1. Αν $\hat{A }$ οξεία,τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
2. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{A } , \hat{\Gamma } \leq \hat{B}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
3. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{B } , \hat{\Gamma } \leq \hat{A}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (πρόταση, αληθής)

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Έτσι είναι, όπως τα λες ( μόνο που από τις γωνίες πρέπει να διαγράψεις το =, γιατί στη δεύτερη περίπτωση λέει «με μεγαλύτερη πλευρά την β» και στην τρίτη περίπτωση λέει «με μεγαλύτερη πλευρά την α»).
•Γιατί όμως δεν γράφεις ότι στις δύο πρώτες περιπτώσεις δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν είναι Σωστό ή Λάθος. Ενώ στην τρίτη περίπτωση μπορούμε να ρωτήσουμε αν είναι Σωστό ή Λάθος.
Με εκτίμηση.

John13 · #16

Κύριε Κυριακόπουλε διάβασα την εργασία σας ,που έχετε ανεβάσει εδώ στο forum, και κατάλαβα που έκανα λάθος. Πράγματι δεν ήταν σωστά διατυπωμένη η παραπάνω πρόταση για να μπει σε θέμα σωστό-λάθος, ή μάλλον δε μπορεί κάποιος να ρωτήσει αν είναι σωστή ή λανθασμένη αυτή η πρόταση.

Γιάννης Κατσαρός

lonis · #17

Κύριε Αντώνη,
το πρώτο - και μοναδικό -πράγμα που έκανα στο σπίτι μου σήμερα το πρωί, πίνοντας έναν πολύ βιαστικό καφέ, ήταν να ανοίξω τον υπολογιστή και να μπω στο mathematica, να δω τι νέα κουβέντα άνοιξε χθες το βράδυ. Και είδα το μήνυμά σας:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Λεωνίδα.
Το θέμα 1Β1 της γεωμετρίας που έχεις στο συνημμένο είναι:
« Χαρακτηρίστε ως Σωστό ή Λάθος κάθε μία από τις προτάσεις:
1. Αν ${\alpha ^2} < {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Οξυγώνιο
2…….
3.....».
Ποια είναι η απάντηση Σ ή Λ; Αφού, ένα τέτοιο τρίγωνο, μπορεί να είναι οξυγώνιο μπορεί όμως και να μην είναι.
Πράγματι, σε καθένα από τα παρακάτω τρία τρίγωνα ισχύει: ${\alpha ^2} < {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ και το πρώτο είναι ορθογώνιο (στο Γ), το δεύτερο είναι αμβλυγώνιο (στο Γ) και το τρίτο είναι οξυγώνιο.
$\rightarrow$ Πρώτο τρίγωνο: α=3,β=4 και γ=5.
$\rightarrow$ Δευτέρα τρίγωνο: α=3,β=5 και γ=6.
$\rightarrow$ Τρίτο τρίγωνο: α=5,β=6 και γ=7.
• Η ερώτηση στο θέμα 1Β1 δεν έχει μονοσήμαντη απάντηση. Δεν είναι μια πρόταση( για τα μαθηματικά ). Είναι ένας προτασιακός τύπος, ο οποίος άλλες φορές γίνεται μια πρόταση αληθής και άλλες φορές γίνεται μια πρόταση ψευδής.
•Στα θέματα Σ-Λ οι ερωτήσεις πρέπει να είναι προτάσεις για να έχουν μονοσήμαντη απάντηση (αν θυμάμαι καλά είναι η τέταρτη φορά που το γράφω και δεν θα κουραστώ να το γράψω, αν χρειαστεί, άλλες 1000 φορές ).

το οποίο αισθάνθηκα ότι με πρόσβαλε. "Γιατί άραγε;", σκέφτηκα. Δεν απάντησα το απόγευμα, όταν "ξαναμπήκα" στη σελίδα μας, ούτε το βράδυ, όταν έγραψα τις δύο λύσεις στο θέμα γεωμετρίας που πρότεινα πριν λίγες μέρες. Θα το κάνω τώρα, εν πλήρη ψυχραιμία:

1. Το θέμα μας εδώ ήταν μία συγκεκριμένη άσκηση που μπήκε θέμα εξετάσεων σε ένα σχολείο. Πήρα θέση, με κάθε επιφύλαξη, για τη νομιμότητα της κριτικής μου, στη θεματοδοσία κάποιου άγνωστου σε μένα καθηγητή, που δίδαξε σε τμήμα του οποίου δεν γνωρίζω ούτε τη σύνθεση, ούτε τις δυνατότητες, τη συμπεριφορά κλπ. Και η θέση μου ήταν ταυτισμένη με την άποψη του υπουργείου για τη δομή των θεμάτων, εξ ού και η διατύπωση:

lonis έγραψε: Το νόμιμα αναφέρεται στον τρόπο που απαιτεί το Υπουργείο να θεματοδοτούμε - αλλά εμείς συχνά φτιάχνουμε δικό μας υπουργείο, δικό μας αναλυτικό πρόγραμμα κλπ.

2. Η κουβέντα με τους ενδιαφερόμενους - "μουστερήδες" τους λέμε στη Βόρεια Ελλάδα - κυλούσε εντός θέματος. Ανέβασα τα θέματα που έβαλα στις εξετάσεις του σχολείου όπου διδάσκω φέτος, για να δώσω μία-πιθανή-και-σύμφωνη-με-τις-κείμενες-διατάξεις θεματοδοσία. Περίμενα (και θα περιμένω για τα υπόλοιπα θέματα που ανεβάζω τώρα) μία κριτική, αυστηρή ή και κακόπιστη, πάντα όμως βάσει επιχειρημάτων. Θα προτιμούσα να αλλάξει η ροή της κουβέντας, πάνω στην ουσία της όμως. Να συζητήσουμε για την λογική του διατάγματος που καθορίζει τον τρόπο εξέτασης. Τον τρόπο που βγάζουν οι καθηγητές του σχολείου θέματα και τη συμβατότητα με τα διατάγματα. Ή το πόσο μας άρεσαν τα φετινά θέματα της κατεύθυνσης Γ Λυκείου και, κυρίως, αν θα εξακολουθούν να μας αρέσουν θέματα παρόμοιας δυσκολίας μετά από πχ. 10 χρόνια.

3. Το μόνο που δεν περίμενα, ήταν το παραπάνω μήνυμά σας. Γιατί δεν προσφέρει τίποτα στη συγκεκριμένη συζήτηση, δε δημιουργεί -έστω - προϋποθέσεις άλλου διαλόγου -αντίθετα, μεταφέρει το κέντρο βάρους του υφιστάμενου αλλού - και, προσωπικά, δε με διορθώνει στο παραμικρό. Εκτός αν πιστεύετε ότι δεν ξέρω τη διαφορά μεταξύ πρότασης και προτασιακού τύπου, πράγμα μάλλον αληθές, κρίνοντας από τη συνέχεια:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
•Γιατί όμως δεν γράφεις ότι στις δύο πρώτες περιπτώσεις δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν είναι Σωστό ή Λάθος. Ενώ στην τρίτη περίπτωση μπορούμε να ρωτήσουμε αν είναι Σωστό ή Λάθος.
Με εκτίμηση.

4. Ας τα πάρουμε, λοιπόν, με τη σειρά: Mea Culpa, ή Mea Culpa, αν προτιμάτε. Όντως, το ερώτημα:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: 1. Αν ${\alpha ^2} < {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Οξυγώνιο

είναι προτασιακός τύπος - πάντα ήταν! - και επομένως άλλοτε είναι αληθής πρόταση και άλλοτε ψευδής. Να το πούμε διαφορετικά: η πρόταση: αν ένα τρίγωνο έχει μία τουλάχιστον γωνία οξεία, τότε είναι οξυγώνιο, δεν επιδέχεται μονοσήμαντης απάντησης, αφού υπάρχουν τρίγωνα με μία τουλάχιστον οξεία γωνία που είναι οξυγώνια - κάποια , ορθογώνια - κάποια άλλα και αμβλυγώνια - τα υπόλοιπα. Mea Culpa αλλά και Scripta manent- δεν σκοπεύω να αλλάξω το λάθος μου στο συνημμένο αρχείο.

5. Από την άλλη,αν ρωτήσεις έναν μαθητή: αν ένα τρίγωνο έχει μία τουλάχιστον γωνία οξεία, τότε είναι οξυγώνιο; θα σε στραβοκοιτάξει περίεργα, προκαταβάλοντας την ερώτηση ως λανθασμένη. Γιατί; Επειδή έχει μάθει να θεωρεί αυτονόητη την παρεμβολή της λέξης "πάντα" στο ερώτημα. Νομίζει, δηλαδή, ότι τον ρωτάνε: αν ένα τρίγωνο έχει μία τουλάχιστον γωνία οξεία, τότε είναι πάντα οξυγώνιο; Και απαντάει, φυσικά, "όχι".

6. Τα θέματα που βάζουμε στις ενδοσχολικές εξετάσεις, έχουν μια σημαντική διαφορά, σε σχέση με τα θέματα των πανελληνίων εξετάσεων. Εκεί, δεν επιτρέπονται οι διευκρινήσεις. Εδώ, είναι ο κανόνας. Σχολιάζοντας, ως εισηγητής, τα "σωστό-λάθος" των θεμάτων, ο καθηγητής συνήθως τονίζει: αν ένα τρίγωνο έχει μία τουλάχιστον γωνία οξεία, τότε είναι οξυγώνιο; Σίγουρα; Αυτό ίσως ενισχύει τη σύγχυση των εννοιών πρόταση - προτασιακός τύπος αλλά βοηθάει το μαθητή που προσέχει να πάρει 2-3 μόρια σε σύνολο 100 που είναι το άριστα. Σιγά τ' αυγά!

7. Οι παρατηρήσεις σας συνεχίζουν να είναι προσβλητικές:
Α.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Υ.Γ. Αγαπητέ φίλε Κώστα Σερίφη, θυμάσαι τι σου έλεγα;

Τι εννοείτε; Γιατί δεν τηλεφωνείτε στον φίλο σας Κώστα Σερίφη να θυμηθείτε;

Β. Λέτε να μην ξέρω τη διαφορά μεταξύ μεγαλύτερου ή ίσου και μεγαλύτερου;

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Έτσι είναι, όπως τα λες ( μόνο που από τις γωνίες πρέπει να διαγράψεις το =, γιατί στη δεύτερη περίπτωση λέει «με μεγαλύτερη πλευρά την β» και στην τρίτη περίπτωση λέει «με μεγαλύτερη πλευρά την α»).

Θα έπρεπε κι εγώ να μιλήσω για τον προαστιακό τύπο που λέγατε σε παλαιότερα μηνύματά σας; Ή για τον αφορισμό: Γνωρίζω πολύ καλά πότε μια συνεπαγωγή είναι αληθής και πότε είναι ψευδής, αφού έχω γράψει βιβλίο Μαθηματικής Λογικής , ο οποίος είναι μάλλον προτασιακός τύπος, όμως γίνεται αληθής πρόταση, όταν στη μεταβλητή εγώ βάλουμε Αντώνης Κυριακόπουλος;

8. Αλήθεια, πιστεύετε ότι η μαθηματική λογική βοηθάει στην ανάπτυξη των μαθηματικών; Το ότι οι μαθηματηκίσκοι (όπως εγώ) που συναντάτε στη σύγχρονη πραγματικότητα κάνουν λογικά λάθη, σημαίνει ότι, αν δεν έκαναν τέτοια λάθη, θα ήταν ιδιοφυϊες; Ξέρετε πολλά μεγάλα μυαλά που να θάφτηκαν λόγω λογικών λαθών;

9. Πριν τελειώσω: Όταν κάποιος εδώ μέσα κάνει κάποιο λάθος, του στέλνω προσωπικό μήνυμα, επισημαίνοντας το λάθος του. Δεν σπεύδω να τον διασύρω. Διόρθωσα- με διόρθωσαν. Αν, βέβαια, κάποιος επιμένει με "επιχειρήματα" στην λανθασμένη άποψή του, πάσα μέθοδος δεκτή.

10. Τέλος: Η πιο πρόχειρη αλλά και ουσιαστική δικαιολογία που έχω για το λάθος μου, είναι η εξής: Από τις 12 Μαϊου, εργάζομαι στο βαθμολογικό κέντρο των Σερρών, όχι ως βαθμολογητής αλλά ως βοηθός γραμματέα. Όπερ σημαίνει: 7 το πρωί ως 6 το απόγευμα τις μέρες των πανελληνίων και 4-6 ώρες τη μέρα από τότε ως σήμερα. Με πλήρη συμμετοχή στις εργασίες του σχολείου μου (100 χιλιόμετρα πήγαινε-έλα). Τα θέματα που έβαλα στο σχολείο ετοιμάστηκαν σε δύο δόσεις, δύο βράδυα του Μαϊου, τουλάχιστον δέκα μέρες πριν την εξέταση κάθε μαθήματος. Στα πενιχρά "υπόλοιπα" κάθε μέρας, έγραφα εδώ. Αλλά δεν σκοπεύω να κάνω κι άλλο "εύκολο" λάθος. Θα επανέλθω όταν τελειώσω με το βαθμολογικό.

11. Κύριε Αντώνη, μη μου στείλετε προσωπικό μήνυμα. Τα εν δήμω μη εν οίκω.

Φιλικά
Θαρραλίδης

#18

Για το ξεκίνημα, ειρήνη ημίν και υμίν! (και μάλιστα μεταξύ δασκάλων με τεράστια προσφορά και ακόμα μεγαλύτερα αποθέματα μελλοντικής προσφοράς.)

rek2 έγραψε:Ένας προβληματισμός:
Τι έχουμε να πούμε για τα επόμενα, είναι προτάσεις ή προτασιακοί τύποι; Χαρακτηρίζονται ναι ή όχι σαν "σωστό" ή "λάθος";

1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.
2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με μεγαλύτερη πλευρά την β.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.
3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με μεγαλύτερη πλευρά την α.
Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2},$ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

lonis έγραψε:Η υπόθεση : "Αν $\alpha ^{2}<\beta ^{2}+\gamma ^{2}$ ", γίνεται ισοδύναμα: "αν $\hat{A }$ οξεία" και οι προτάσεις μετασχηματίζονται ως εξής:
1. Αν $\hat{A }$ οξεία,τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
2. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{A } , \hat{\Gamma } \leq \hat{B}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (προτασιακός τύπος)
3. Αν $\hat{A }$ οξεία και $\hat{B } , \hat{\Gamma } \leq \hat{A}$ , τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο (πρόταση, αληθής)

Λεωνίδας Θαρραλίδης

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:

Αγαπητέ Λεωνίδα.
Έτσι είναι, όπως τα λες ...
•Γιατί όμως δεν γράφεις ότι στις δύο πρώτες περιπτώσεις δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν είναι Σωστό ή Λάθος. Ενώ στην τρίτη περίπτωση μπορούμε να ρωτήσουμε αν είναι Σωστό ή Λάθος.
Με εκτίμηση.

Προσπαθώ να εντοπίσω ποιά είναι η διαφορά ανάμεσα στις προτάσεις (της γραμματικής) 1., 2. και την 3. με την οποία τις διακρίνουμε και τις χαρακτηρίζουμε τις μεν 1., 2. "προτασιακό τύπο" την δε 3. (μαθηματική) "πρόταση"; Κάτι παίζεται στις εκφωνήσεις.
Γιατί η 2. είναι προτασικός τύπος και η 3. πρόταση; (γιατί για παράδειγμα δεν είναι και οι δύο προτασιακοί τύποι ή και οι δύο προτάσεις;)
Ο προβληματισμός είναι ο εξής:
Αν Ρ(χ) είναι προτασιακός τύπος με το χ να παίρνει τιμές από ένα σύνολο αναφοράς Ω, τότε η έκφραση
(για κάθε $x\in \Omega$ ):Ρ(χ)
είναι πρόταση, και, είναι αληθής όταν όλες οι "παραγόμενες" προτάσεις είναι αληθείς, άλλως είναι ψευδής. Έτσι, επειδή στο 2. "παράγονται" και ψευδείς προτάσεις, ενώ στο 3. "παράγονται" μόνο αληθείς προτάσεις, γιατί να μη συμπεράνουμε ότι το μεν 2. είναι ψευδής πρόταση, το δε 3. αληθής πρόταση;
Γιαυτό, λοιπόν, προσπαθώ να εντοπίσω ποιό είναι το επιχείρημα με το οποίο διακρίνουμε και χαρακτηρίζουμε τις μεν 1., 2. "προτασιακό τύπο" την δε 3. (μαθηματική) "πρόταση"; Παίζεται κάτι στην διατύπωση τους;

ΥΓ1. Δεν βρήκα στη λίστα των συμβόλων το του "για κάθε".
ΥΓ2. Ελπίζω να είναι κατανοητό το τι θέλω να γράψω. Δεν ξέρω αν, προς το παρόν, έχουμε κοινή γλώσσα επικοινωνίας επί του θέματος, αλλά και γενικότερα. Ο πατέρας της Κυβερνητικής είπε: Το μύνημα που εξεπέμφθει δεν είναι το μύνημα που ελήφθει!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #19

Καλημέρα σε όλους
Αφού μιλάμε για προτασιακούς τύπους και προτάσεις ας δούμε τι διδάσκαμε κάποτε.

Προτασιακοί τύποι - Προτάσεις.

Μια μαθηματική έκφραση που περιέχει ένα σύμβολο χ τη λέμε προτασιακό τύπο της μεταβλητής χ και την παριστάνουμε με Ρ(χ).

Αν τώρα στον προτασιακό τύπο Ρ(χ) αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή (ακαθόριστο σύμβολο) χ με μια συγκεκριμένη έννοια, έστω λ, τότε την έκφραση που θα προκύψει τη λέμε λογική πρόταση ή απλώς πρόταση και την παριστάνουμε με Ρ(λ) ή απλούστερα με Ρ.

Στα μαθηματικά και γενικά στη λογική (κλασική λογική) με τον όρο «πρόταση» εννοούμε μια έκφραση με αυτοτελές νόημα, η οποία επιδέχεται έναν ακριβώς από τους δύο χαρακτηρισμούς:
«αληθής», «ψευδής» και με την ίδια πάντοτε σημασία.

Παράδειγμα.
Έστω ο προτασιακός τύπος:
Ρ(χ) : «ο χ είναι άρτιος αριθμός».

Η πρόταση:
Ρ(2) : «ο 2 είναι άρτιος αριθμός» είναι αληθής,

ενώ η πρόταση:
Ρ(3) : «ο 3 είναι άρτιος αριθμός» είναι ψευδής.

Οι χαρακτηρισμοί αληθής, ψευδής λέγονται τιμές αλήθειας της πρότασης και συμβολίζονται αντίστοιχα με α, ψ.
Όταν το περιεχόμενο μιας πρότασης Ρ είναι αληθές, τότε λέμε ότι η πρόταση έχει τιμή αλήθειας α και γράφουμε τ(Ρ) = α, ενώ όταν το περιεχόμενο της Ρ είναι ψευδές, τότε λέμε ότι η Ρ έχει τιμή αλήθειας ψ και γράφουμε τ(Ρ)= ψ.
Ώστε:
τ(Ρ)= α, αν Ρ αληθής και Ψ, αν Ρ ψευδής

Η συγκεκριμένη έννοια λ, με την οποία αντικαθιστούμε τη μεταβλητή χ του προτασιακού τύπου Ρ(χ) για να προκύψει πρόταση, τη λέμε τιμή της μεταβλητής.
Το σύνολο Ω των τιμών της μεταβλητής το λέμε σύνολο αναφοράς του αντίστοιχου προτασιακού τύπου και το σύνολο των τιμών της μεταβλητής, για τις όποιες ο προτασιακός τύπος γίνεται πρόταση αληθής, το λέμε: σύνολο τιμών αλήθειας του προτασιακού τύπου.
Να έχουμε μια καλή μέρα.
Λεωνίδα θα τα πούμε στα πάτρια εδάφη, πίνοντας και τρώγοντας, και κάποιοι μας ζηλεύουν από τώρα.
Θωμάς

Α.Κυριακόπουλος · #20

Αγαπητέ Λεωνίδα Θαρραλίδη( και ας με λες εσύ: κύριε Αντώνη. Εγώ σε θεωρώ φίλο μου και μάλιστα αγαπητό).
Η επιθυμία μου είναι να σου απαντήσω δημόσια και όχι με προσωπικό μήνυμα, γιατί με έχεις παρεξηγήσει και θέλω να βάλω μερικά πράγματα στη θέση τους.
1)Σε καμία περίπτωση δεν είχα πρόθεση να σε προσβάλλω. Καταρχήν δεν ξεκαθάριζες αν τα θέματα αυτά της Β΄ λυκείου τα έχεις βάλει εσύ ( στο Λύκειο) ή κάποιος άλλος συνάδελφός. Ανεξάρτητα όμως από αυτό, ποτέ δεν σκέφτηκα ότι εσύ δεν ξέρεις τη διαφορά μεταξύ προτάσεως και προτασιακού τύπου, αφού ξέρω ότι έχεις βιβλία με το αντικείμενο αυτό. Καμιά φορά όμως, για διάφορους λόγους, μας ξεφεύγουν μερικά πράγματα. Αυτό συμβαίνει σε όλους μας. Κανένας δεν είναι αλάνθαστος. Και πρώτος δεν είμαι εγώ. Στην περίπτωση αυτή το θεωρείς προσβολή να το επισημάνουμε; Θα μου πεις γιατί δεν το έκανα με προσωπικό μήνυμα. Δεν το έκανα για δύο λόγους:
α) Γιατί πιστεύω ότι δεν είναι και τόσο κακό να κάνει κάποιος ένα λάθος( αρκεί να μην επαναλαμβάνει το ίδιο λάθος). Εξάλλου, όπως σου είπα και παραπάνω, δεν είχα καταλάβει αν τα θέματα αυτά τα έχεις φτιάξει εσύ. Πιστεύω ακόμα ότι μαθαίνουμε όχι μόνον από τα δικά μας λάθη, αλλά και από τα λάθη των άλλων. Αυτός δεν είναι ο σκοπός του χώρου αυτού; Να διορθώνουμε ο ένας τον άλλον ώστε συνεχώς να γινόμαστε καλύτεροι; Εκτός αν δεν έχω καταλάβει καλά. Αν ήταν, σε τέτοιες περιπτώσεις, να ανταλλάσσουμε προσωπικά μηνύματα, τα προσωπικά μας e-mail θα ήταν αρκετά , δεν θα μαθαίναμε ποτέ αν κάτι που γράφει κάποιος είναι σωστά ή όχι και δεν θα μαθαίναμε από τα λάθη των άλλων.Tο χώρο αυτό θα τον είχαμε για να αυτοθαυμαζόμαστε. Όταν ένας δημοσιεύει κάτι, δεν έχει την ευθύνη αν αυτά που γράφει είναι σωστά ή όχι; Αυτό δεν γίνεται παντού; Γιατί λοιπόν να θιγόμαστε όταν κάνουμε ένα λάθος; Εγώ,όταν ένας μου υποδεικνύει ένα λάθος μου, όχι μόνο δεν θεωρώ ότι με προσβάλλει (τα μαθηματικά δεν είναι ιδιοκτησία κανενός), αλλά του λέω και χίλια ευχαριστώ.
β) Γιατί, θεώρησα ότι ήταν μια καλή ευκαιρία να συζητήσουμε, με όλους τους συναδέλφους, τα θέματα του τύπου: Σωστό-Λάθος. Γιατί, όπως πολύ καλά γνωρίζεις, τέτοια λανθασμένα θέματα έχουν βάλει πολλές φορές στις Πανελλαδικές εξετάσεις, ακόμα και εφέτος. Δεν νομίζεις ότι θα είχε ενδιαφέρον μια τέτοια συζήτηση, αφού είναι βέβαιο ότι στο χώρο αυτό, υπάρχουν και μελλοντικοί θεματοδότες;.
2) Εκεί όμως που με έχεις παρεξήγηση πάρα πολύ και με έχεις αδικήσει κατάφωρα, είναι στο δεύτερο μήνυμα μου που λέω: « Αγαπητέ Λεωνίδα. Έτσι είναι, όπως τα λες ( μόνο που από τις γωνίες πρέπει να διαγράψεις το =…». Ειλικρινά όταν είδα την απάντησή σου με τις γωνίες, μου άρεσε πάρα πολύ και ήθελα να βρω έναν τρόπο να σου το πω. Εγώ, όπως θα θυμάσαι, είχα βρει παραδείγματα με μήκη πλευρών. Από εδώ και πέρα θα το λέω με γωνίες, όπως εσύ. Το ότι έβαλες στις γωνίες και το =, θεώρησα ότι το έκανες εκ παραδρομής και στο επεσήμανα για να το διορθώσεις, γι' αυτό το έβαλα και σε παρενθέσεις. Σου έγραψα: « Γιατί όμως δεν γράφεις ότι στις δύο πρώτες περιπτώσεις δεν έχει νόημα να ρωτάμε αν είναι Σωστό ή Λάθος…», όχι γιατί υπέθεσα ότι δεν ξέρεις τη διαφορά μεταξύ προτάσεως και προτασιακού τύπου , αλλά ότι το θεωρούσες αυτονόητο και επειδή πολλοί συνάδελφοί δεν το θεωρούνε αυτονόητο, ουσιαστικά ήθελα να σου πω, γιατί δεν το τονίζεις. Είναι κρίμα που όλα αυτά τα έχεις παρεξήγηση.
3) Στο μήνυμα του μαθητή iohn007 έγραψα: « Αγαπητέ φίλε Κώστας Σερίφη, θυμάσαι τι σου έλεγα;», αλλά θέλω να σε διαβεβαιώσω ότι αυτό δεν έχει καμία απολύτως σχέση με εσένα. Όταν βρεθούμε καμιά φορά, πράγμα που πολύ θα ήθελα, θα σου εξηγήσω.
• Τώρα, παρά τις εξηγήσεις που σου έδωσα, αν δεν έχεις πεισθεί ότι δεν είχα πρόθεση να σε προσβάλλω, σου ζητάω συγνώμη.
Με εκτίμηση και αγάπη.

απόσταση πλευρών ρόμβου

απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Re: απόσταση πλευρών ρόμβου

Μέλη σε σύνδεση