Διπλωμένο τετράγωνο !

#1

Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο χαρτί ΑΒΓΔ έχει διπλωθει κατά μήκος του ΕΖ ώστε το Γ να πέσει στο μέσο Η του ΑΒ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΗΒΕ είναι 6 cm^2

, να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

Μπάμπης

( Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί και στη γ΄γυμνασίου στην ενότητα των ταυτοτήτων ή στην ενότητα των εξισώσεων α΄βαθμού, όπως επίσης και στην Α΄ Λυκείου στην ίδια ενότητα των εξισώσεων , ως πρόβλημα.)

KARKAR · #2

Αν

η πλευρά και $\displaystyle \Delta (0,0),\Gamma (a,0),B(a,a),H(\frac{a}{2},a),A(0,a)$ ,

τότε το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο της $H\Gamma$

και συνεπώς εύκολα βρίσκουμε ότι έχει συντεταγμένες $\displaystyle (a,\frac{5a}{8})$

Άρα $\displaystyle E=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}\frac{3a}{8}=6\Rightarrow \frac{3a^2}{32}=6\Rightarrow 3a^2=192\Rightarrow a^2=64$

Ιστοσελίδα · #3

Θέτω ${\rm A}{\rm H} = {\rm H}{\rm B} = x$ και ${\rm E}{\rm H} = {\rm E}\Gamma = y$ .

Τα ορθογώνια τραπέζια ΖΔΓΕ, ΖΛΗΕ είναι συμμετρικά ως προς τη μεσοκάθετο ΕΖ της ΗΓ (Κ σημείο τομής).

Το τρίγωνο ΕΗΓ είναι ισοσκελές άρα ${\rm E}\widehat {\rm H}\Gamma = {\rm E}\widehat \Gamma {\rm H} = \varphi$ .

Από Πυθαγόρειο στο ΓΗΒ προκύπτει $\Gamma {\rm H} = \sqrt 5 x$ και από λόγο ομοιότητας στα τρίγωνα ΗΚΕ, ΓΗΒ παίρνω $y = \displaystyle\frac{{5x}}{4}\,\,(1)$ .

Από το εμβαδό του τριγώνου ΗΒΕ προκύπτει η σχέση $\displaystyle\frac{{x \cdot (2x - y)}}{2} = 6\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} x = 4$ και εμβαδό τετραγώνου $64\tau .\mu .$

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο χαρτί ΑΒΓΔ έχει διπλωθει κατά μήκος του ΕΖ ώστε το Γ να πέσει στο μέσο Η του ΑΒ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΗΒΕ είναι 6 , να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

Μπάμπης

( Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί και στη γ΄γυμνασίου στην ενότητα των ταυτοτήτων ή στην ενότητα των εξισώσεων α΄βαθμού, όπως επίσης και στην Α΄ Λυκείου στην ίδια ενότητα των εξισώσεων , ως πρόβλημα.)

$\Rightarrow HE^2=a^2+EB^2-2aEB$

$\Rightarrow HE^2-EB^2=a^2-8\frac{HB\cdot EB}{2}$

$\Rightarrow HB^2=a^2-8\cdot 6\Rightarrow \left( \frac{a}{2}\right)^2=a^2-48\Rightarrow a^2=64$

#5

Μια ακόμα λύση με Αναλυτική Γεωμετρία.

: 05-02-2011 Γεωμετρία.jpg (13.97 KiB) Προβλήθηκε 1621 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Β(0, 0) παίρνουμε τα σημεία Γ(α, 0), Δ(α, α) και Α(0, α), α > 0 που είναι κορυφές τετραγώνου πλευράς α.

Διπλώνοντας το τετράγωνο κατά μήκος του τμήματος ΕΖ, η κορυφή Γ ταυτίζεται με το μέσο Η του ΑΒ. Έστω Ε(x, 0), 0 < x < α και $\displaystyle H\left( {0,\;\frac{\alpha }{2}} \right)$ .

Είναι: $\displaystyle \left( {{\rm E}\Gamma } \right) = \left( {{\rm E}{\rm H}} \right) \Rightarrow \left( {\alpha - x} \right) = \sqrt {x^2 + \frac{{\alpha ^2 }}{4}} \Rightarrow \frac{3}{4}\alpha ^2 = 2\alpha x \Rightarrow x = \frac{3}{8}\alpha$

Δίνεται ότι $\displaystyle \left( {BEH} \right) = 6 \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \cdot \frac{{3\alpha }}{8} = 12 \Rightarrow \alpha ^2 = 64\;\tau .\mu .$

dimgiann · #6

Μια πολύ ενδιαφέρουσα γενίκευση για το δίπλωμα ενός τετραγωνισμένου χαρτιού
αναφέρεται στη "γεωμετρία της χαρτοδιπλωτικής" (paper folding geometry) http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ... ndex.shtml
στην επομένη ιστοσελίδα:http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ... sion.shtml
Ενδιαφέρον είναι επίσης ότι τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται με το δίπλωμα του τετραγώνου της άσκησης, έχουν πλευρές ανάλογες των αριθμών 3-4-5
Δημήτρης Γιαννόπουλος

#7

dimgiann έγραψε:Μια πολύ ενδιαφέρουσα γενίκευση για το δίπλωμα ενός τετραγωνισμένου χαρτιού
αναφέρεται στη "γεωμετρία της χαρτοδιπλωτικής" (paper folding geometry) http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ... ndex.shtml
στην επομένη ιστοσελίδα:http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ... sion.shtml
Ενδιαφέρον είναι επίσης ότι τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται με το δίπλωμα του τετραγώνου της άσκησης, έχουν πλευρές ανάλογες των αριθμών 3-4-5
Δημήτρης Γιαννόπουλος

Αυτή η ωραία παρατήρηση και η σχετική παραπομπή με κάνει να φτιάξω σε χαρτί μερικά τετράγωνα με διαστάσεις 12Χ12 cm και να ζητήσω από τα παιδιά να βρούμε τρόπο μόνο με διπλώσεις να κατασκευάσουμε γραμμή με μήκος πχ 8 cm. Θέλει βέβαια προετοιμασία μια τέτοια προσπάθεια (ας πούμε στη β΄λυκείου), αλλά αξίζει τον κόπο.Θα ξεκινήσουμε με πιο απλά ερωτήματα .Στο τέλος θα κάνουμε και θεωρητική απόδειξη και γενίκευση, όπως στο cut the knot.Μπορεί να πετύχει η απόπειρα.
Καμιά παραμονή γιορτής ή Αποκριάς τέτοια μαθήματα πιάνουν τόπο !

Μπάμπης

#8

Μπάμπη στις τάξεις του Λυκείου μπορούμε με πολύ όμορφο τρόπο να δείξουμε τη δίπλωση αυτή
με ένα τρισδιάστατο λογισμικό. Για παράδειγμα στα δύο σχήματα που αναρτώ φαίνονται δύο στιγμιότυπα.
Άν κάποιος έχει το λογισμικό αυτό(Cabri 3d) τότε μπορεί να το δεί και με κίνηση.

Κώστας Δόρτσιος

Διπλωμένο τετράγωνο !

Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Re: Διπλωμένο τετράγωνο !

Μέλη σε σύνδεση