Βρείτε τη γωνία x (70)

Ιστοσελίδα · #1

Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με διαγώνιο ΒΔ ισχύει: ${\rm A}\Delta = \Gamma \Delta$ , ${\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {21^ \circ },\Gamma \widehat {\rm B}\Delta = {39^ \circ },\,\widehat \Gamma = {78^ \circ }.$ Βρείτε τη γωνία $x = {\rm A}\widehat {\rm B}\Delta .$

#2

Καταπληκτικό!
Έδωσα μία απάντηση αλλά ΤΙΠΟΤΑ απο μαθηματική σχέση δεν έλεγε να εμφανιστεί!!
Βρίσκω χ=30 μοίρες.
Μάλλον κάποιος δάκτυλος των συνέδρων που αποφάσισαν την αποπομπή της τριγωνομετρίας
(η λύση μου ήταν τριγωνομετρική) έκανε δολιοφθορά.

#3

'Άλλη μία προσπάθεια:
Εφαρμόζω το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΔ:
$\displaystyle{ \frac{{AB}}{{\sin x}} = \frac{{B\Delta }}{{\sin \hat A}}\mathop \Rightarrow \limits^{\hat A = 159^o - x} \frac{{AB}}{{\sin x}} = \frac{{B\Delta }}{{\sin (159^o - x)}}(1) }$

Εφαρμόζω το νόμο των ημιτόνων στο ΒΔΓ:
$\displaystyle{ \frac{{B\Delta }}{{\sin 78^o }} = \frac{{B\Gamma }}{{\sin 39^o }} \Rightarrow B\Delta = 2B\Gamma \cos 39^o (2) }$ (αφού οι 78 είναι διπλάσιες απο τις 39 μοίρες)

Αντικαθιστώ στην (1) και έχω μετά τις απλοποιήσεις:
$\displaystyle{ \sin (159^o - x) = 2\sin x\cos 39^o \Rightarrow \sin (120^o + 39^o - x) = \sin (x + 39^o ) + \sin (x - 39^o ) }$
Συνεχίζοντας:
$\displaystyle{ \sin (120^o )\cos (39^o - x) + \cos (120^o )\sin (39^o - x) = \sin (x + 39^o ) + \sin (x - 39^o ) }$
ή
$\displaystyle{ \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos (x - 39^o ) + \frac{1}{2}\sin (x - 39^o ) = \sin (x + 39^o ) + \sin (x - 39^o ) \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos (x - 39^o ) - \frac{1}{2}\sin (x - 39^o ) = \sin (x + 39^o ) }$
ή
$\displaystyle{ \cos [60^o - (x - 39^o )] = \sin (x + 39^o ) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {99^0 - x = x + 39^o } \\ {99^o - x = 180^o - x - 39^o } \\ \end{array} \Rightarrow x = 30^o } \right. }$
Μετά απο την παρέμβαση του Γρηγόρη Κωστάκου, όλα διευθετήθηκαν.Τον ευχαριστώ πολύ!

Ιστοσελίδα · #4

Ευχαριστώ το Χρήστο για τη λύση του. Να δώσω μια γεωμετρική.

Από το τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε ${\rm B}\widehat \Delta \Gamma = {180^ \circ } - ({39^ \circ } + {78^ \circ }) = {63^ \circ }$ . Πάνω στη ΒΓ παίρνω σημείο Ε τέτοιο ώστε $\Delta {\rm E} = \Delta \Gamma$ . Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ισοσκελές, οπότε $\Gamma \widehat \Delta {\rm E} = {24^ \circ }$ .

Ακόμα θα ισχύει ${\rm B}\widehat \Delta {\rm E} = {63^ \circ } - {24^ \circ } = {39^ \circ }$ , συνεπώς αφού $\Delta {\rm E} = \Delta \Gamma = \Delta {\rm A}$ και ${\rm A}\widehat \Delta {\rm E} = {21^ \circ } + {39^ \circ } = {60^ \circ }$ το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισόπλευρο.

Εφόσον ${\rm E}\widehat {\rm B}\Delta = {\rm E}\widehat \Delta {\rm B} = {39^ \circ }$ το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισοσκελές, με ${\rm E}\Delta = {\rm E}{\rm B}$ και αφού ${\rm E}\Delta = {\rm E}{\rm A}$ (απ’ το ισόπλευρο ΔΑΕ) θα έχουμε ότι το τρίγωνο ΕΒΑ θα είναι ισοσκελές με ${\rm A}\widehat {\rm E}{\rm B} = {180^ \circ } - ({78^ \circ } + {60^ \circ }) = {42^ \circ }.$

Έτσι θα ισχύει: $2\left( {x + {{39}^ \circ }} \right) + {42^ \circ } = {180^ \circ } \Rightarrow x = {30^ \circ }.$

KARKAR · #5

Υψηλή μαγειρική !

#6

Ευχαριστούμε το Μιχάλη για άλλη μία όμορφη άσκηση με μία ακόμα πιο όμορφη λύση.
Θεωρώ ότι αξίζει το κόπο για κάποιον που θέλει να ασχοληθεί με τη Γεωμετρία, να προσπαθεί να λύσει τέτοιες ασκήσεις γεωμετρικά, καθώς το ψάξιμο των βοηθητικών γραμμών σε ένα σχήμα, είναι ιδιαίτερα σημαντικό. Εύχομαι να δούμε σχετικές λύσεις και από μαθητές.
Παραθέτω χάριν πολυφωνίας και τη δική μου προσέγγιση:
Η γωνία ΑΔΓ ισούται με 84 μοίρες και η ΑΔΒ είναι το 1/4 αυτής. Έστω Μ μέσον της ΑΓ.
Ορίζουμε τα Ε και Ζ, ώστε οι ΔΕ, ΔΖ, ΔΜ να χωρίζουν τη γωνία ΑΔΓ σε τέσσερα ίσα μέρη και οι γωνίες ΔΓΖ, ΔΕΑ ειναι 30 μοιρών.
Η ΔΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΖ καθως είναι άξονας συμμετρίας του ΑΔΓ.
Η ΖΚ ισούται με την απόσταση του Ζ από την ΔΓ, η οποία είναι το μισό της ΓΖ.
Επομένως, ΓΖ=ΖΕ, δηλαδή η ΓΕ διχοτομεί τη γωνία ΖΓΑ, άρα και την ΔΓΒ.
Έτσι $\hat{\Delta \Gamma E}=\hat{\Delta B \Gamma }=39^{0}$
Επμένως, $\Delta A^{2}=\Delta \Gamma ^{2}=\Delta E\cdot \Delta B$
Άρα $x=\hat{\Delta AE }=30^{0}$

Βρείτε τη γωνία x (70)

Βρείτε τη γωνία x (70)

Re: Βρείτε τη γωνία x (70)

Re: Βρείτε τη γωνία x (70)

Re: Βρείτε τη γωνία x (70)

Re: Βρείτε τη γωνία x (70)

Re: Βρείτε τη γωνία x (70)

Μέλη σε σύνδεση