Βρείτε τη γωνία x (77)

Ιστοσελίδα · #1

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma ,\,\Gamma {\rm A}\Delta$ είναι ισοσκελή ( ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma = \Gamma \Delta$ ) με ${\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {36^ \circ },\,{\rm A}\widehat \Gamma \Delta = {24^ \circ }$ . Αν ${\rm E}$ είναι το σημείο τομής της ${\rm B}\Delta$ με την ${\rm A}\Gamma$ , βρείτε τη γωνία $x = {\rm B}\widehat {\rm E}\Gamma .$

Ιστοσελίδα · #2

Ονομάζουμε τη γωνία $A\widehat{B}E = a.$
Είναι $\varGamma\widehat{A}\varDelta = \varGamma\widehat{\varDelta}A = 78^{\circ} \; , \; A\widehat{\varDelta}B = 66^{\circ}-a.$

Στο τρίγωνο $A\varGamma\varDelta$ είναι: $\dfrac{A\varDelta}{\sin 24^{\circ}} = \dfrac{A\varGamma}{\sin 78^{\circ}}$

Στο τρίγωνο $AB\varDelta$ είναι: $\dfrac{A\varDelta}{\sin a} = \dfrac{AB}{\sin (66^{\circ}-a)}$

Διαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις: $\dfrac{\sin a}{\sin 24^{\circ}} = \dfrac{\sin (66^{\circ}-a)}{\sin 78^{\circ}} \Leftrightarrow \sin a\cdot{\sin 78^{\circ} = \sin 24^{\circ}\cdot\sin (66^{\circ}-a) \Leftrightarrow$

$\sin a\cdot{\cos 12^{\circ} = 2\sin 12^{\circ}\cdot\cos 12^{\circ}\cdot\cos (24^{\circ}+a) \Leftrightarrow \sin a = 2\sin 12^{\circ}\cdot\cos (24^{\circ}+a) \; {\color{red}(1)}$

Παρατηρούμε ότι για $a=18^{\circ}$ είναι: $2\sin 12^{\circ}\cdot\cos (42^{\circ}) = \sin 54^{\circ} - \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{4}(1+\sqrt{5}) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}(-1+\sqrt{5}) = \sin 18^{\circ}.$

Δηλαδή η $a=18^{\circ}$ είναι λύση της εξίσωσης ${\color{red}(1)}.$

Η συνάρτηση $f(x)=\sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(0,\frac{\pi}{2}),$ ενώ η συνάρτηση $g(x)=2\sin \frac{\pi}{15}\cdot\cos (\frac{2\pi}{15}+x)$ είναι γνησίως φθίνουσα σ' αυτό.

Άρα η συνάρτηση $h(x)=f(x)-g(x) , x\in (0,\frac{\pi}{2})$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η εξίσωση ${\color{red}(1)}$ έχει μοναδική λύση την $a=18^{\circ}.$

Επομένως, $\hat{x}=36^{\circ}+18^{\circ} = 54^{\circ}.$

Ιστοσελίδα · #3

Και μία γεωμετρική λύση.

Με πλευρά ΓΔ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ΖΓΔ. Θα ισχύει ${\rm A}\widehat \Gamma {\rm Z} = {\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {\rm Z}\widehat \Gamma {\rm B} = {36^ \circ }$ και λόγω του ότι ΓΑ = ΓΔ = ΓΖ θα έχουμε ${\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm B} = {36^ \circ }$ .

Το τετράπλευρο ΑΖΒΓ είναι εγγράψιμο ( ${\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm B} = {\rm Z}\widehat \Gamma {\rm B} = {36^ \circ }$ ), οπότε ${\rm B}\widehat {\rm Z}\Gamma = {\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {36^ \circ }$ που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΒΖΓ είναι ισοσκελές.

Εφόσον ΒΖ = ΒΓ και ΔΖ = ΔΓ έχουμε ότι η ΒΜΔ είναι μεσοκάθετος της ΖΓ, άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΕΓ έχουμε ότι $x = {90^ \circ } - {36^ \circ } = {54^ \circ }.$

Βρείτε τη γωνία x (77)

Βρείτε τη γωνία x (77)

Re: Βρείτε τη γωνία x (77)

Re: Βρείτε τη γωνία x (77)

Μέλη σε σύνδεση