Τρείς άνισοι κύκλοι ο ένα εξωτερικά του άλλου

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δίνονται τρείς κύκλοι με οι οποίοι είναι ανά δύο ο ένας εξωτερικά του άλλου όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

i) Αν είναι τα σημεία τομής των κοινών εξωτερικών εφαπτομένων των ζευγαριών αντίστοιχα να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά

ii) Αν είναι τα σημείο τομής των κοινών εσωτερικών εφαπτομένων των ζευγαριών αντίστοιχα να δειχθεί ότι: είναι επίσης συνευθειακά

Στάθης Κούτρας

[Σεραφείμ]

Με φυγή στον χώρο.

efap.jpg (45.66 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Έστω p το επίπεδο των τριών κύκλων. Κατασκευάζουμε τις σφαίρες με μέγιστους κύκλους τους δοθέντες. Το σύνολο των ευθειών που είναι εφαπτόμενες σε δύο σφαίρες και είναι ομοεπίπεδες (οι εφαπτόμενες ευθείες) με την διάκεντρο των σφαιρών, σχηματίζουν κώνο. Ο εφαπτόμενος κώνος των σφαιρών S1 και S2 έχει κορυφή το σημείο Κ12, όμοια τα Κ13 και Κ23 είναι οι κορυφές των αντίστοιχων εφαπτόμενων κώνων στα άλλα ζευγάρια σφαιρών. Θεωρούμε το επίπεδο q εφαπτόμενο των τριών σφαιρών από «πάνω» τους. Τότε οι τρεις κορυφές των κώνων θα βρίσκονται συγχρόνως στα επίπεδα p και q, άρα στην τομή τους, συνεπώς θα είναι συνευθειακά σημεία.
Αντίστοιχες κατασκευές προκύπτουν αν το εφαπτόμενο επίπεδο q αφήσει την σφαίρα S3 από «πάνω» και τις άλλες από «κάτω» κ.λ.π.


Την όμορφη αυτή απόδειξη είχε παρουσιάσει ο εξαίρετος δάσκαλος Μιχάλης Λάμπρου σε κάποια διάλεξη στα Γιάννενα.

[KDORTSI]

Ναι, την όμορφη αυτή λύση την άκουσα κι εγώ στη Βέροια από το Μιχάλη Λάμπρου, όπου εκτός αυτής
είχε παρουσιάσει κι άλλες πολλές στο ίδιο πνεύμα, δηλαδή τις είχε αντιμετωπίσει οδηγούμενος
από το επίπεδο στο χώρο.

Κατωτέρω παραθέτω μια ακόμα απλή απόδειξη:
Στο τρίγωνο ΚΛΜ εξετάζουμε αν για τα σημεία Α,Β,Γ ικανοποιούν το θεώρημα του Μενελάου.
Είναι:

Άρα τα Α,Β,Γ συνευθειακά μιας και το Θεώρημα του Μενελάου ισχύει και αντίστροφα.

Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται και η δεύτερη πρόταση.

Κώστας Δόρτσιος

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι.
για το ωραιότατο Θεώρημα του φίλου Στάθη, έχω να αναφέρω τα ακόλουθα, για να θυμόμαστε και τους εμπνευστές του Θεωρήματος, αλλά κα των αποδείξεων:
(α). Το Θεώρημα αυτό ονομάζεται Θεώρημα d’ Alambert και η ευθεία Κ23Κ12Κ13, ονομάζεται επίσης ευθεία d’ Alambert.
(β). Εμπνευστής της κομψής απόδειξης του φίλου Σεραφείμ φέρεται ο Monge, γι’ αυτό φέρει και το όνομά του. Εντυπωσιακό είναι το σχετικό σχήμα του φίλου Σεραφείμ.
(γ). Η απόδειξη του Θεωρήματος αυτού είναι δυνατό να επιτευχθεί και με τη βοήθεια της Θεωρίας της ομοιοθεσίας.
(δ). Ανάλογη ευθεία, με την ευθεία d’ Alambert, έχουμε και αν αντί για τρεις κύκλους, έχουμε τρία ομοιόθετα ανά δύο τρίγωνα, ή γενικότερα ευθύγραμμα σχήματα.
(ε). Το Θεώρημα αυτό με έχει απασχολήσει κατά το παρελθόν. Μια πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω επέκταση, του Θεωρήματος d’ Alambert, αναφέρω στην παράγραφο 6ι(29) (τόμος 6) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας. Την επέκταση αυτή δεν αναρτώ εδώ, λόγω της μεγάλης εκτάσεώς της.
Καλό ΠΑΣΧΑ.


Φιλικά,
Νίκος Κυριαζής.