ίσο με την προβολή

#1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ M }$ τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου $\displaystyle{ \left( O \right) }$ . Από το $\displaystyle{ M }$ φέρνουμε τις κάθετες $\displaystyle{ MD,ME }$

στις ευθείες των πλευρών $\displaystyle{ BC,CA }$ αντίστοιχα $\displaystyle{ \left( {D \in BC,\;E \in CA} \right) }$ . Αν $\displaystyle{ A',B' }$ είναι οι προβολές των $\displaystyle{ A,B }$ στην ευθεία $\displaystyle{ DE }$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{ A'B' = DE }$

Στάθης

#2

Κατ' αρχήν η ευθεία που ορίζουν οι προβολές Ε και D του σημείου Μ στις πλευρές ΑC και ΒC του τριγώνου ABC
είναι η ευθεία του Simson η οποία θα περάσει κι από το σημείο Z που είναι η τρίτη προβολή του σημείου Μ στην ΑΒ.
Έτσι από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΑ'Ε και ΜΑΖ προκύπτει:
$\displaystyle \frac{EA'}{EA}=\frac{MZ}{MA}\Rightarrow EA'=\left(EA \right)\frac{MZ}{MA}\ \ (1)$
Επίσης από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΒΒ'D και ΒΜΖ προκύπτει:
$\displaystyle \frac{B'D}{BB'}=\frac{MZ}{BZ}\Rightarrow B'D=(BB')\frac{MZ}{BZ}\ \ (2)$
Ζητούμε ότι:
$\displaystyle A'B'=DE \ \ (3)$
αυτό ισοδυναμεί με:
$\displaystyle A'B'=DE\Leftrightarrow A'E=B'D$
και λόγω των (1) και (2) αρκεί να ισχύει:
$\displaystyle \left(EA \right)\frac{MZ}{MA}=\left(BB' \right)\frac{MZ}{BZ}\Leftrightarrow \frac{EA}{MA}=\frac{BB'}{BZ}$
η τελευταία όμως είναι αληθής από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων: ΑΕΜ και ΒΒ'Ζ.
Επομένως και η (3) είναι αληθής.

Σημείωση: Πρέπει να είναι ακόμα: Α'Ζ=DC'

Κώστας Δόρτσιος

ίσο με την προβολή

ίσο με την προβολή

Re: ίσο με την προβολή

Μέλη σε σύνδεση