ίσα τμήματα - ομοκυκλικά (3)

#1

Οι εφαπτόμενες στα σημεία $\displaystyle{ B,C }$ του περιγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{ \left( O \right) }$ τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{ D }$ . Από το $\displaystyle{ D }$ φέρνουμε την παράλληλη

προς την εφαπτόμενη του $\displaystyle{ \left( O \right) }$ στο σημείο $\displaystyle{ A }$ η οποία τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{ AB,AC }$ στα σημεία $\displaystyle{ E,Z }$ αντίστοιχα.

i) Να δειχθεί ότι το $\displaystyle{ D }$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{ EZ }$ και

ii) Ο κύκλος με διάμετρο την $\displaystyle{ EZ }$ διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{ B,C }$

Στάθης

#2

Θεωρώντας τις προεκτάσεις των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒC
στα σημεία Β, C που να τέμνουν την εφαπτομένη κύκλου αυτού στο σημείο Α στα σημεία Η και Κ
τότε:
Εύκολα φαίνεται ότι τα τρίγωνα DEC και BDZ είναι ισοσκελή και επειδή DB=DC άρα:
DE=DC=DB=DZ
Η τελευταία σχέση δείχνει τα δύο αιτούμενα της άσκησης.

Κώστας Δόρτσιος

chris · #3

Αν θέσουμε $\angle{xAC}=\omega$ τότε έχουμε:

$\angle{xAC}=\angle{ACz}=\angle{ZCD}=\angle {CZD}=\omega$
αφού $Ax\parallel ZE$ και $\angle{zCA}=\angle{ZCD}$ ως κατακορυφήν.

Επομένως το τρίγωνο $\triangle{CDZ}$ είναι ισοσκελές με CD=ZD

.
Ομοίως αποδεικνύουμε οτι DB=DE

και επειδή έχουμε DB=DC

τελικά θα είναι:
DZ=DC=DB=DE=R

και επιπλέον τα σημεία Z,C,B,E

βρίσκονται σε κύκλο κέντρου

,ακτίνας

και διαμέτρου

αφού τα

είναι συνευθειακά και το

το αντιδιαμετρικό του

.

: isa tmhmata.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Edit: Το αφήνω αν και με πρόλαβε ο κ.Κώστας

ίσα τμήματα - ομοκυκλικά (3)

ίσα τμήματα - ομοκυκλικά (3)

Re: ίσα τμήματα - ομοκυκλικά (3)

Re: ίσα τμήματα - ομοκυκλικά (3)

Μέλη σε σύνδεση