Μεγιστοποίηση Εμβαδού

KARKAR · #1

Σημείο

κινείται επί ημικυκλίου , διαμέτρου BC=2R

. Εκτός του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάζω

τα ισόπλευρα τρίγωνα ABD , ACE

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου BCED

#2

Ας είναι $\displaystyle{AB=x}$ και $\displaystyle{AC=y.}$
Το εμβαδόν $\displaystyle{E(x,y)}$ του τετραπλεύρου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $\displaystyle{ABC,ACE,ABD,ACE.}$

Το πρώτο, ως ορθογώνιο, έχει εμβαδόν ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{2}xy.}$

Το δεύτερο, αφού $\displaystyle{\angle DAE=360^0-90^0-60^0-60^0=150^0,}$ έχει εμβαδόν ίσο με $\displaystyle{\frac{1}{2}xy\sin 150^0=\frac{1}{2}xy\sin 30^0=\frac{1}{4}xy.}$

Τα ισόπλευρα τρίγωνα έχουν εμβαδόν ίσο με $\displaystyle{\frac{x^2\sqrt{3}}{4}}$ και $\displaystyle{\frac{y^2\sqrt{3}}{4}}$ αντίστοιχα.

Άρα $\displaystyle{E(x,y)=\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4}xy+\frac{(x^2+y^2)\sqrt{3}}{4}.}$

Εξάλλου, από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε $\displaystyle{x^2+y^2=4R^2,}$

άρα $\displaystyle{\boxed{E(x,y)=\frac{3xy}{4}+R^2\sqrt{3}}.}$

Όμως, ισχύει $\displaystyle{2xy\leq x^2+y^2=4R^2,}$ άρα $\displaystyle{E(x,y)\leq \left(\frac{3}{2}+\sqrt{3} \right)R^2}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x=y=R\sqrt{2}.}$

Μεγιστοποίηση Εμβαδού

Μεγιστοποίηση Εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση Εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση