Βρείτε τη γωνία χ (101)

Ιστοσελίδα · #1

: χ101.png (34.93 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Δίνεται τρίγωνο $ABC\left( {{{108}^ \circ }{{,54}^ \circ }{{,18}^ \circ }} \right)$ και επί της

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε AC = AB + BD

. Βρείτε τη γωνία $x = A\widehat DB$ .

Antonis_Z · #2

Καλησπέρα.

Στην προέκταση της

προς το Β,παίρνουμε τμήμα BE=BD

.Το τρίγωνο AEC

είναι ισοσκελές με τις ίσες γωνίες να έχουν μέτρο

μοιρών.Επίσης η

είναι διχοτόμος της γωνίας ACE

.Τα τρίγωνα BEC

και

έχουν: την

κοινή, $\angle ACB=\angle BCE$ και BE=BD

,άρα οι γωνίες BEC

και

είναι ή ίσες ή παραπληρωματικές.Αν είναι ίσες τότε $\angle ADB=180-36=144$ ,όμως αυτό είναι άτοπο γιατί το ABD

δεν θα ήταν τρίγωνο.Επομένως $\angle BDC=180 - \angle BEC = 144$ και τελικά η γωνία x=36

.

Ιστοσελίδα · #3

Στο τρίγωνο $ABD: \dfrac{AB}{\sin x} = \dfrac{BD}{\sin 108^{\circ}} = \dfrac{AB+BD}{\sin x +\sin 108^{\circ}} = \dfrac{AC}{\sin x +\sin 72^{\circ}}$

Στο τρίγωνο $ABC: \dfrac{AB}{\sin 18^{\circ}} = \dfrac{AC}{\sin 54^{\circ}}$

Με διαίρεση κατά μέλη των δύο προηγούμενων ισοτήτων, παίρνουμε:

$\dfrac{\sin 18^{\circ}}{\sin x} = \dfrac{\sin 54^{\circ}}{\sin x +\sin 72^{\circ}} \Leftrightarrow$

$\sin x\cdot\sin 18^{\circ} + \sin 18^{\circ}\cdot\sin 72^{\circ} = \sin x\cdot\sin 54^{\circ} \Leftrightarrow$

$\sin x = \dfrac{\sin 18^{\circ}\cdot\sin 72^{\circ}}{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}} = \dfrac{\cos 54^{\circ} - \cos 90^{\circ}}{4\sin 18^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ}}$

$= \dfrac{\sin 36^{\circ}}{4\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)} = \sin 36^{\circ} .$

Άρα $x = 36^{\circ} .$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Γεια σας. Μια ..όψιμη παραλλαγή , για χάρη και του $\Phi$ , στο θέμα αυτό του $\Phi$ ίλου Μ.Ν

: Βρείτε την γωνία ..2011 Μ.Ν.PNG (7.27 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Όπως βρήκαμε και στο πρόσφατο θέμα ΕΔΩ είναι $AC=\Phi ^{2} \cdot AB$ και έπεται $BD=\Phi \cdot AB$ .

Με γνωστό ότι $\Phi =2cos36^{0}$ έχουμε $sin108^{0}=sin72^{0} =2cos36^{0}sin36^{0}=\Phi \cdot sin36^{0}$ .

O N. Ημιτόνων στο BAD

μας δίνει $\dfrac{sinx}{AB}=\dfrac{sin108^{0}}{BD}=\dfrac{\Phi \cdot sin36^{0}}{\Phi \cdot AB}$ , άρα προκύπτει : $sinx =sin36^{0}\Rightarrow \boxed {x=36^{0}}$ , ως οξεία .

Φιλικά Γιώργος.

Βρείτε τη γωνία χ (101)

Βρείτε τη γωνία χ (101)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (101)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (101)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (101)

Μέλη σε σύνδεση