Βρείτε τη γωνία χ (105)

Ιστοσελίδα · #1

: χ105.jpg (57.31 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\widehat B = {96^ \circ }$ . Επί της πλευράς

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε $B\widehat AD = {30^ \circ },\,DC = AB$ και επί της πλευράς

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε $D\widehat EC = {96^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία $x = C\widehat BE$ .

parmenides51 · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

καλησπέρα Μιχάλη

το ABDE

είναι εγράψιμο αφού $D\hat EC=A\hat BD$ ,έτσι $B\hat ED=30^o,D\hat AE=x$

με νόμο ημιτόνων

$\displaystyle{\vartriangle DEC\rightarrow \frac{DC}{\sin 96}=\frac{DE}{\sin(54-x)},~~(1)}$

$\displaystyle{\vartriangle ABD\rightarrow \frac{AB}{\sin 54}=\frac{DB}{\sin 30},~~(2)}$

$\displaystyle{\vartriangle DEB\rightarrow \frac{DE}{\sin x}=\frac{DB}{\sin 30},~~(3)}$

$\displaystyle{(1),(2),(3)\Rightarrow \frac{\sin(54-x)}{\sin x}=\frac{\sin 96}{\sin 54}=\frac{\cos 6}{\cos 36}=\frac{\cos 6}{\sin 30+\sin 18}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{\sin(54-x)}{\sin x}=\frac{\cos 6}{2\sin 24\cdot \cos 6}=\frac{\sin 30}{\sin 24}\Rightarrow \boxed{x=24^o}}$

#4

To τετράπλευρο ABDE

είναι εγγράψιμο όπως εξηγεί η Φωτεινή παραπάνω. Ας είναι

το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και

η ακτίνα του.
Πάνω στην πλευρά

παίρνουμε σημείο

ώστε

Η

τέμνει τον κύκλο στο

Τώρα βρίσκουμε διαδοχικά $A\hat{D}B=54^o$ , $A\hat{O}B=108^o$ , $A\hat{B}O=36^o=B\hat{A}O,$ $O\hat{A}D=6^o,$ $A\hat{O}D=168^o,$ $B\hat{F}O=72^o=I\hat{F}A,$ $A\hat{O}I=168^o-72^o-60^o=36^o,$ $I\hat{A}O=72^o.$
Άρα το τρίγωνο AIO

είναι ισοσκελές με AI=AF.

Επίσης $AF=\lambda _{10}$ δηλαδή ίσο με την πλευρά κανονικού δεκαγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (O,R).

Άρα $AB=R+\lambda _{10}.$ Ας φέρουμε τώρα $DH\parallel AB$ με το

πάνω στην

Είναι

Από τα όμοια τρίγωνα HDC

και

προκύπτει $HD=\displaystyle{\frac{(R+\lambda _{10})^2}{2R+\lambda _{10}}.}$

Όμως $\lambda _{10}^2=R(R-\lambda _{10}).$ (Η σχέση αποδεικνύεται σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου, σελ. 240)

Τώρα εύκολα προκύπτει $R(2R+\lambda _{10})=(R+\lambda _{10})^2$ οπότε HD=R.

Επομένως τα τρίγωνα ABD

και

είναι ίσα οπότε $\hat{C}=30^o.$

Έτσι $\hat{\chi }=180^o-126^o-30^o=24^o.$

: cat .png (33.13 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Ευχαριστώ τη Φωτεινή και τον Παύλο (ο οποίος εντόπισε ένα αδιευκρίνιστο σημείο στη χθεσινοβραδινή απόδειξη) και αφιερώνω αυτή τη λύση στους Νικολάδες του

: x105-sol.png (25.17 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου ABD

(εφόσον $\widehat B = {96^ \circ }$ δηλαδή αμβλεία, το

θα βρίσκεται εξωτερικά του τριγώνου). Αφού $B\widehat AD = {30^ \circ }$ το τρίγωνο KBD

θα είναι ισόπλευρο και το $KAB\left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ ισοσκελές (λόγω της $K\widehat BA = {96^ \circ } - {60^ \circ } = {36^ \circ }$ ).

Στην προέκταση της

παίρνω σημείο

, τέτοιο ώστε AN = AB

. Σχηματίζεται έτσι το ισοσκελές $ABN\left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ και το χρυσό ισοσκελές $NAK\left( {{{36}^ \circ }{{,72}^ \circ }{{,72}^ \circ }} \right)$ , μια που $N\widehat AK = {108^ \circ } - {36^ \circ } = {72^ \circ }$ και $A\widehat NK = {36^ \circ }$ .

Το τρίγωνο NBC

είναι ισόπλευρο ( BN = BC

και $N\widehat BC = {60^ \circ }$ ), άρα το τετράπλευρο ABCN

είναι χαρταετός, επομένως $A\widehat CB = \displaystyle\frac{{{{60}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ }$ . Απ’ το εγγράψιμο τετράπλευρο ABDE

έχουμε $B\widehat ED = B\widehat AD = {30^ \circ }$ και απ’ το τρίγωνο EBC:

${54^ \circ } - x = {30^ \circ } \Rightarrow x = {24^ \circ }$ .

Βρείτε τη γωνία χ (105)

Βρείτε τη γωνία χ (105)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (105)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (105)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (105)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (105)

Μέλη σε σύνδεση