Συνευθειακά.

#1

: Συνευθειακά.jpg (30.87 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Κύκλοι $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{A{\text{ \& }}B}$ . Κύκλος

εφάπτεται εξωτερικά των $\displaystyle{{c_1}{\text{ \& }}{c_2}}$ στα σημεία $\displaystyle{C{\text{ \& }}D}$ αντίστοιχα. Οι ευθείες $\displaystyle{AC{\text{ \& }}AD}$ επανατέμνουν τον κύκλο

στα σημεία $\displaystyle{E{\text{ \& }}F}$ . Αν

είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{ED{\text{ \& }}FC}$ , να αποδειχθεί ότι τα σημεία $\displaystyle{{\text{A }}{\text{, }}B{\text{ \& }}M}$ είναι συνευθειακά.

Προέκυψε κατά την διαδικασία επίλυσης άλλης άσκησης.

S.E.Louridas · #2

Αν θεωρήσουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου (c)

στα σημεία C, D, F, E

δημιουργούμε το περιγεγραμμένο τετράπλευρο στον κύκλο (C)

, έστω το

Τότε το σημείο

είναι το σημείο του Brianchon του τετραπλεύρου KWQL.

Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία A,K,M,Q,

είναι συνευθειακά.
Αλλά το σημείο

θα βρίσκεται ταυτόχρονα και στον ριζικό άξονα των κύκλων (C_1), (C_2),

που είναι η ευθεία AB,

καθότι ισχύει KC=KD.

Εδώ θεωρώ ότι τελειώσαμε.

S.E.Louridas

#3

Πολύ σωστά Σωτήρη ..

Μια άλλη σκέψη .. Τα

,

και

είναι συνευθειακά λόγω του Εξαγώνου Pascal (C-E-E-F-F-D)

. Όμως η

είναι το αντίστροφο σχήμα
του κύκλου c_1

ως προς σημείο

και λόγο την δύναμη του

ως προς τον κύκλο

. Όμοια η

, το αντίστροφο σχήμα του c_2

. Άρα το

είναι το αντίστροφο σημείο
του

, που σημαίνει πως είναι συνευθειακό με τα

και

.

S.E.Louridas · #4

Ναι Σεραφείμ καθότι το σημείο του Brianchon είναι ο πόλος της ευθείας του Pascal.

(*)
Επιτρέψτε μου να αναφέρω εδώ οτι ο Brianchon δεν ήταν Μαθηματικός, ήταν αξιωματικός του Γαλλικού πυροβολικού με τεράστιες επιδόσεις στην Γεωμετρία.
Μήπως εδώ στο mathematica έχουμε κάτι αντίστοιχο που ακούει στο όνομα Νίκος Κυριαζής;

S.E.Louridas

#5

Καλημέρα Σεραφείμ και Σωτήρη.
Καλή Χρονιά, δημιουργική και Γεωμετρική!
Για να κάνουμε καλή αρχή για το 2012, ας υποβάλλω και μία πιο στοιχειώδη λύση:

Αρκεί να αποδείξουμε, ότι το

ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο τεμνόμενων κύκλων, δηλαδή ότι έχει την ίδια δύναμη και με τους δύο κύκλους. Αν H,Z

είναι τα δεύτερα σημεία τομής των MC,MD

με τους $\displaystyle{c_1,c_2}$ αντίστοιχα, τα Z,H,A

είναι συνευθειακά, καθώς ZA//FE//ZH

(λόγω ομοιοθεσιών των c,c_1

και

κέντρων

αντίστοιχα). Επομένως, $\hat{EDC}=\hat{EFC}=\hat{CHZ}$ , οπότε το τετράπλευρο ZHCD

είναι εγγράψιμο. Δηλαδή, $MC\cdot MH=MD\cdot MZ$

#6

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Καλημέρα Σεραφείμ και Σωτήρη.
Καλή Χρονιά, δημιουργική και Γεωμετρική!
Για να κάνουμε καλή αρχή για το 2012, ας υποβάλλω και μία πιο στοιχειώδη λύση:

Καλησπέρα Ανδρέα .. εξαιρετική η ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ λύση σου .. με ξάφνιασε η απλότητά της .. μπράβο !!

Συνευθειακά.

Συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά.

Μέλη σε σύνδεση