5Β-Γεωμετρία

Α.Κυριακόπουλος · #1

Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και θεωρούμε τον εγγεγραμμένο του κύκλο C. Να αποδείξετε ότι αν ένα σημείο Μ διαγράφει τον κύκλο C ,τότε το άθροισμα: $\displaystyle{S = {\rm M}{{\rm A}^2} + {\rm M}{{\rm B}^2} + {\rm M}{\Gamma ^2}}$ είναι σταθερό.
(Παρακαλώ οι λύσεις να στηρίζονται αποκλειστικά και μόνο στη θεωρία του σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας).

mathfinder · #2

Μία λύση στο συνημμένο στα πλαίσια της σχολικής ύλης
(η άσκηση λύνεται και με χρήση του θεωρήματος του Leibnitz)

Αθ. Μπεληγιάννης

#3

Μετά την πολύ ωραία παραπάνω λύση, ας σημειώσουμε τα παρακάτω:

Μια σύντομη λύση με χρήση αναλυτικής γεωμετρίας υπάρχει στη σελίδα 186 του βιβλίου "Γεωμετρία, Μαθηματικές Ολυμπιάδες" του Δ.Κοντογιάννη.

Κι εκεί αναφέρεται ως δεύτερη λύση αυτή με χρήση του Θ.Leibnitz:

Θ. Leibnitz: Αν

το βαρύκεντρο τριγώνου ABC

και σημείο

του επιπέδου του, τότε

3(MA^2+MB^2+MC^2)=9MG^2+(AB^2+BC^2+CA^2)

Φιλικά,

Αχιλλέας

5Β-Γεωμετρία

5Β-Γεωμετρία

Re: 5Β-Γεωμετρία

Re: 5Β-Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση