Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

geomyljason · #1

Δίνεται έλλειψη.Πως μπορούμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο του σημείου από το οποίο άγονται εφαπτομένες προς την έλλειψη που είναι κάθετες μεταξύ τους

#2

καλησπέρα
νομίζω ότι την ίδια άσκηση είχε βάλει πέρσι ο gatos.

Χρήστος

S.E.Louridas · #3

Αν η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής
$\frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} = 1,$ ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα
$R = \sqrt {a^2 + b^2 } ,$ ονομάζεται δε διευθύνων κύκλος (director circle).

S.E.Louridas

pana1333 · #4

Καλημέρα δίνω και μια λύση.......

Έστω ${\rm A}\left( {x_1 ,y_1 } \right)$ ένα σημείο από το οποίο φέρουμε κάθετες εφαπτομένες στην έλλειψη. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων θα είναι της μορφής $\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 :y = \lambda x - \lambda x_0 + y_0$ , $x_0 \ne \pm a$ (κατακόρυφες)

Οι ευθείες αυτές εφάπτονται στην έλλειψη αν και μόνο αν το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 }}{{\alpha ^2 }} + \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ y = \lambda x - \lambda x_0 + y_0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right\}$ έχει μοναδική λύση. Αποδεικνύεται (μετά από αρκετές πράξεις,) αντικαθιστώντας το y από την σχέση (2) στην (1) και απαιτώντας η διακρίνουσα του τριωνύμου ως προς x που προκύπτει, ότι $\lambda ^2 \left( {\alpha ^2 - x_0^2 } \right) + \left( {2x_0 y_0 } \right)\lambda + \left( {\beta ^2 - y_0^2 } \right) =0$ (3).

Η σχέση (3) είναι τριώνυμο ως προς λ με γινόμενο ριζών $\lambda _1 \cdot \lambda _2 = \frac{{\beta ^2 - y_0^2 }}{{a^2 - x_0^2 }}$
όπου οι ρίζες $\lambda _1 ,\lambda _2$ είναι συντελεστές διεύθυνσης των δύο εφαπτομένων που διέρχονται από το Α. Για να είναι κάθετες πρέπει $\lambda _1 \cdot \lambda _2 = \frac{{\beta ^2 - y_0^2 }}{{a^2 - x_0^2 }} = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 = a^2 + \beta ^2$ . Άρα κύκλος κέντρου Κ(0,0) και ακτίνας $\rho = \sqrt {\alpha ^2 + \beta ^2 }$ .

Για $x_0 = \pm a$ έχουμε $y_0 = \pm \beta$ . Επομένως:

Από τα σημεία $A_1 \left( {a,\beta } \right)$ , $A_2 \left( { - a,\beta } \right)$ , $A_3 \left( { - a, - \beta } \right)$ , $A_3 \left( {a, - \beta } \right)$ φέρουμε κάθετες εφαπτομένες στην έλλειψη. Τα σημεία αυτά ανήκουν στον κύκλο $C:\,x^2 + y^2 = a^2 + \beta ^2$ .

Δίνω και τις πράξεις εν συντομία ……

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas · #5

Αν η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής
$\frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} = 1,$ για το τυχόν σημείο της
$\left( {x_0 ,y_0 } \right)$
διάφορο των σημείων τομής της με τους άξονες έχουμε την ύπαρξη
$\theta \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right):\;x_0 = \alpha \cos \theta ,y_0 = b\sin \theta ,$
οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της
$\left( {\alpha \cos \theta ,b\sin \theta } \right),\,\theta \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right)$ παίρνει, μετά λίγες πράξεις την μορφή
$y = \lambda x \pm \sqrt {\alpha ^2 \lambda ^2 + b^2 } ,\mu \varepsilon \,\lambda = \tan \theta \ne 0.$ Άρα ζητάμε την ένωση του συνόλου των τεσσάρων σημείων που είναι κορυφές του ορθογωνίου που σχηματίζεται από τις εφαπτόμενες της έλλειψης στα σημεία τομής της με τους άξονες, με το σύνολο των σημείων της τομής των ευθειών
$y = \lambda x \pm \sqrt {\alpha ^2 \lambda ^2 + b^2 } \,\kappa \alpha \iota \,y = - \frac{1} {\lambda }x \pm \sqrt {\alpha ^2 \left( { - \frac{1} {\lambda }} \right)^2 + b^2 } ,$ οπότε,γενικά, έχουμε:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda ^2 x^2 + y^2 - 2\lambda xy = \alpha ^2 \lambda ^2 + b^2 } \\ {x^2 + \lambda ^2 y^2 + 2\lambda xy = \alpha ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2 } \\ \end{array} } \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} x^2 + y^2 = \alpha ^2 + b^2 .$

S.E.Louridas

parmenides51 · #6

H λύση απο chris gatos εδώ

Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Re: Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Re: Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Re: Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Re: Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Re: Εφαπτομένες έλλειψης κάθετες μεταξύ τους

Μέλη σε σύνδεση