Ασκηση του Ι.Μαντά

#1

Μια ασκηση , ως φόρο τιμής σε ένα επίσης μεγάλο μαθηματικό και δάσκαλο , της ΧΡΥΣΗΣ εποχής των φροντιστηριων
(την οποία δυστυχώς δεν την πρόλαβα, ούτε σα μαθητης , ούτε σαν καθηγητής) , του Ι.Μαντά.

1) Να αποδείξετε οτι οι ευθείες : $\displaystyle{\displaystyle y = \lambda x \pm \sqrt {\beta ^2 + a^2 \lambda ^2 } }$ (1) για κάθε λ πραγματικό αριθμό, εφάπτονται στην έλλειψη με εξίσωση :
$\displaystyle{\displaystyle \frac{{x^2 }} {{a^2 }} + \frac{{y^2 }} {{\beta ^2 }} = 1(2) }$

2) Παριστάνει η εξίσωση (1), όλες τις εφαπτομένες της έλλειψης;

3) Να αποδείξετε οτι ο γεωμετρικός τοπος των σημείων τομής των εφαπτομένων της έλλειψης (2)
που τέμνονται κάθετα είναι κύκλος , του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #2

Ξεκινάω με τα δύο πρώτα ερωτήματα

Έστω ότι η ευθεία y = λx +k δηλαδή η λx – y + k = 0 (3) εφάπτεται στην έλλειψη (2). Προφανώς είναι k διάφορο του μηδενός γιατί δεν μπορεί η y = λx να είναι εφαπτομένη της έλλειψης.
Σε τυχαίο σημείο $\left( {x_o ,y_o } \right)$ η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης είναι:
$\frac{{xx_o }}{{\alpha ^2 }} + \frac{{yy_o }}{{\beta ^2 }} = 1 \Leftrightarrow \beta ^2 xx_o + \alpha ^2 yy_o - \alpha ^2 \beta ^2 = 0$ (4)

Για να εφάπτεται η ευθεία (3) στην έλλειψη, πρέπει και αρκεί οι ευθείες (3) και (4) να συμπίπτουν, δηλαδή πρέπει και αρκεί:
$\frac{\lambda }{{\beta ^2 x_o }} = \frac{{ - 1}}{{\alpha ^2 y_o }} = \frac{k}{{ - \alpha ^2 \beta ^2 }}$

Δηλαδή πρέπει και αρκεί να ισχύουν:
$x_o = - \frac{{\alpha ^2 \lambda }}{k},y_o = \frac{{\beta ^2 }}{k}$

Άρα πρέπει και αρκεί να ισχύει:
$\beta ^2 \left( { - \frac{{\alpha ^2 \lambda }}{k}} \right)^2 + \alpha ^2 \left( {\frac{{\beta ^2 }}{k}} \right)^2 = \alpha ^2 \beta ^2$

$\Leftrightarrow \beta ^2 \frac{{\alpha ^4 \lambda ^2 }}{{k^2 }} + \alpha ^2 \frac{{\beta ^4 }}{{k^2 }} = \alpha ^2 \beta ^2 \Leftrightarrow \alpha ^2 \lambda ^2 + \beta ^2 = k^2$
$\Leftrightarrow k = \pm \sqrt {\beta ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2 }$

Επομένως οι ευθείες $y = \lambda x \pm \sqrt {\beta ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2 }$ εφάπτονται στην έλλειψη

2) Εκτός από τις παραπάνω εφαπτομένες της έλλειψης υπάρχουν και άλλες δύο οι ευθείες x = α και x = - α

Ιστοσελίδα · #3

Για το τρίτο ερώτημα

Έστω δύο εφαπτόμενες που τέμνονται κάθετα με εξισώσεις:

$y = \lambda x + \varepsilon _1 \sqrt {\beta ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2 }$ (1)
$y = - \frac{1}{\lambda }x + \varepsilon _2 \sqrt {\beta ^2 + \alpha ^2 \frac{1}{{\lambda ^2 }}}$ (2)

Όπου $\varepsilon _1 = \pm 1$ και $\varepsilon _2 = \pm 1$

(1) $\Rightarrow \left( {y - \lambda x} \right)^2 = \beta ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2$
$\Rightarrow y^2 + \lambda ^2 x^2 - 2\lambda xy = \beta ^2 + \alpha ^2 \lambda ^2$
$\Rightarrow (x^2 - \alpha ^2 )\lambda ^2 - 2\lambda xy + y^2 - \beta ^2 = 0$ (3)

(2) $\Rightarrow (y + \frac{x}{\lambda })^2 = \beta ^2 + \frac{{\alpha ^2 }}{{\lambda ^2 }}$
$\Rightarrow (\lambda y + x)^2 = \beta ^2 \lambda ^2 + \alpha ^2$
$\Rightarrow \lambda ^2 y^2 + x^2 + 2\lambda xy = \beta ^2 \lambda ^2 + \alpha ^2$
$\Rightarrow (y^2 - \beta ^2 )\lambda ^2 + 2xy\lambda + x^2 - \alpha ^2 = 0$ (4)

Οι εξισώσεις (3) και (4) έχουν φανερά κοινή διπλή ρίζα τον αριθμό λ επομένως έχουν συντελεστές ανάλογους άρα

$\frac{{x^2 - \alpha ^2 }}{{y^2 - \beta ^2 }} = - \frac{{2xy}}{{2xy}} = - 1 = \frac{{y^2 - \beta ^2 }}{{x^2 - \alpha ^2 }}$

Από τις οποίες προκύπτει ότι:

$x^2 - \alpha ^2 = - y^2 + \beta ^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = \sqrt {\alpha ^2 + \beta ^2 } ^2$

Που παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $R = \sqrt {\alpha ^2 + \beta ^2 }$

Μέσα στην αρχική οικογένεια ευθειών δεν ανήκουν οι ευθείες x = α και x = - α που για τις τιμές αυτές προκύπτει ότι y = β και y = - β . Οι παραπάνω τέσσερεις ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους και είναι εφαπτομένες στην έλλειψη. Τα σημεία τομής τους είναι κορυφές του περιγγεγραμμένου στην έλλειψη ορθογωνίου. Ο περιγγεγραμμένος κύκλος αυτού του ορθογωνίου έχει εξίσωση

$x^2 + y^2 = \alpha ^2 + \beta ^2$

Αρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο παραπάνω κύκλος μαζί με τα τέσσερα σημεία (α, β) (α, –β) (–α, β) (–α, –β)

#4

Σπύρο ευχαριστώ για την προσπάθεια και τις λύσεις!

Ασκηση του Ι.Μαντά

Ασκηση του Ι.Μαντά

Re: Ασκηση του Ι.Μαντά

Re: Ασκηση του Ι.Μαντά

Re: Ασκηση του Ι.Μαντά

Μέλη σε σύνδεση